作者herstein (翔爸)
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標題Re: [問題] 工學院的PDE跟數學系的PDE有甚麼差?
時間Sun Dec 23 05:05:15 2012
※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言：
: 我現在有修工學院的PDE
: 因為之前修過系上開的微分方程
: 工學院的PDE大致上對我來說沒甚麼問題
: 教授也說只要有微分方程的基礎就可以修
: 而我們數學系也有開PDE的課程
: 但是是開在研究所的...
: 聽說修數學系的PDE需要高微和複變等等分析的基礎
: 高微可說是我的罩門,想當初重修後才低空飛過
: 不知道數學系開的PDE到底是比工學院的PDE難多少?
: 竟然還需要分析的先備知識
: 有人能幫忙解惑嗎?
: 3Q
PDE在大學的Level主要的內容差別並不大，但細節可能會因為老師不同，
差異會很大。在大學Level的PDE主要還是教怎麼解，從分類PDE開始，
特徵法解一些PDE，接著主要三種elliptic: Laplace算子，Parabolic:
heat equation, Hyperbolic: wave equation。但在台灣數學系大學部開
PDE課的可能比較少，通常都是開導論而已。雖然講的內容可能差不多，
由於數學系的分析基礎比較多，就可能會證明為何積分是收斂，和是收斂。
因為通常PDE的解的表示主要以級數或積分為主，要驗證得到的東西是解，
必須要證明積分or級數和與微分是可以互換。通常非數學系的科系的PDE，
通常不管這麼多，先微分去驗證所得到的是微分方程的解了再說。而因為
PDE的類型不同，所使用的方法也很不同。
研究所的PDE會引入Sobolev空間，也就是為了研究PDE的解的空間。通常
非數學系的PDE通常找到解之後其他都不管了，不管PDE解的regularity
是如何(可微分?或者是片段可微分?或是在某種意義下可微?)理由還是那
句老話找到"解"之後不管三七二十一都給他微了。通常也把Dirac函數
當函數來作。
通常PDE都是透過構造某種泛涵之後，利用泛涵的特質，得到PDE的弱解。
也就是某種distribution意義下的解。如果能夠得知這方程的解具有
高程度以上的光滑性值，那麼在"古典意義下"，他就是解。通常橢圓方程
的解都具有這種特質。例如:如果△ f=0 (在分配意義下)，那麼f必定是光
滑函數(Weyl regularity)。
而更重要的是我們希望處理的PDE通常都是非線性的，如果可以找到解，
表示我們很幸運，通常90%以上的非線性PDE有沒有解都有問題。所以PDE
裡面首先要知道是不是有解，接著是否解唯一。很多時候你就是必須處理
解的存在性問題。有了"解"之後就是光滑性了。
在PDE中，還有一些相當重要的嵌入定理。這些嵌入定理主要是為了處理
方程的解的光滑性。(這些嵌入定理主要是一些不等式。)所以我們就必須常
用到實分析中常用到的一些不等式，這些不等式可以讓我們知道函數空間
如何的去嵌入到另外一個函數空間。(讓我姑且通稱他們為Sobolev inequality
或是Sobolev embedding)
雖然我講得很短，但是其實這些內容相當豐富。數學系跟其他科系處理問題
的方式相當不同，所以要學好PDE是必須要具備一定程度的分析學知識才有辦法。
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