推 krstxp45 :請問怎麼保證y^2+xy+(x^2-3)=0有實數解 12/23 23:30
→ cometic :D≧0 12/25 14:50
推 shingai :了解囉 很好的方法 還順便解出了極值點位置 01/06 20:25
→ shingai :至於實數解 以平面與球相交的圓上的點都是實數解來看 01/06 20:27
※ 引述《shingai (shingai)》之銘言：
: 題目是這樣
: x,y,z belong to R
: x+y+z=0
: x^2+y^2+z^2=6
: 求x^3+y^3+z^3之最大最小值
: 一開始是想使用中學方法及科西不等 下去做
: 但得不到結果
: 於是在想使用Lagrange multiplier
: 但計算上也解不出來
: 所以希望高手題點一下
x,y,z belong to R
x+y+z=0
x^2+y^2+z^2=6
等價於
x,y belong to R
z=-(x+y)
x^2+y^2+(-x-y)^2=6
x,y belong to R
z=-(x+y)
x^2+xy+y^2=3
y^2+xy+(x^2-3)=0
D=x^2-4(x^2-3)≧0
x^2-4≦0
因此-2≦x≦2
所以
x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+(-x-y)^3
=-3x^2y-3xy^2
=-3x(xy+y^2)=-3x(3-x^2)
=3x^3-9x
令f(x)=3x^3-9x
f'(x)=9x^2-9=9(x-1)(x+1)
接下來畫圖即可得知(注意 -2≦x≦2 )
f(x)最大值=6 發生在x=2或-1時
f(x)最小值=-6發生在x=-2或1時
所以
x^3+y^3+z^3最大值=6 發生在(x,y,z)=(2,-1,-1),(-1,-1,2),(-1,2,-1)
x^3+y^3+z^3最小值=-6發生在(x,y,z)=(-2,1,1),(1,1,-2),(1,-2,1)
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