[分析] 實變一題

[znmkhxrw (QQ)]

我想問：

if f_n,f€L^1(E) , f_n→f , f_n is uniformly integrable (定義在最下)

then whether ∫│f_n - f│ → 0  ?
              E


idea：會有這個問題想法是來自於Zygmund第七章的習題第17題
      它的domain是(0,1), finite measure, 會對

      可是我做很久處理不了│E│= +inf的情況
      目前知道說，如果│E│< +inf
      則在"f_n,f€L^1(E)"的條件下，下列三者等價
      1.f_n is uniformly integrable
      2.∫│f_n - f│ → 0
         E
      3.∫│f_n│→∫│f│
         E          E

      可是│E│= +inf時
      我只有2.3.等價且2.可推到1.
      但是1.一直推不到2.

      在│E│< +inf的證法中，1.推到2.是用Egorov's Thoerem
      因為Egorov's Thoerem需要finite measure
      而在│E│= +inf中，我嘗試著用一環一環去切E
      但是最後卡在數列極限與測度極限是否可以互換的問題

      找反例也找不到...
      謝謝!

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f_n€L^1(E)

We say f_n is uniformly integrable

if：for any ε＞0, there exists δ＞0, s.t. when A is subset of E with│A│＜δ

    we have │∫f_n│＜ε for all n€N
               A


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◆ From: 1.171.15.122
→ keroro321   :E=|R,fn = χ_[n,n+1]
→ znmkhxrw    :Orz....謝謝...