※ 引述《HiSUrMy (HiSUrMy)》之銘言：
: 若是利用 lim g(x) = b 與 lim f(y) = c
: x→a y→b
: 的極限精確定義(precise definition)
: 寫出
: lim f(g(x)) = c
: x→a
: 的極限精確定義(precise definition)
定義
g(x)=3 , x in R
f(x)=1 , x=3
f(x)=2 , x<>3
則 lim f(g(x)) = f(3) = 1 <> lim f(y) = 2
x→1 y→3
為一個反例
: ===============================================================
: 證明寫法:
: Since lim f(y) = c
: y→b
: Let ε > 0
: There exists δ_1 > 0 such that
: | f(y) - c | < ε whenever 0 < | y - b | < δ_1
: Since lim g(x) = b
: x→a
: There exists δ > 0 such that
: | g(x) - b | < δ_1 whenever 0 < | x - a | < δ
: Therefore
: whenever 0 < | x - a | < δ
: | g(x) - b | < δ_1 implies | f(g(x)) - c | < ε
: ===============================================================
: 1.
: 請問這樣上面的證明寫法正確嗎?
: 2.
: 我想再請問的是 0 < | y - b | < δ_1 限定 y 不等於 b
: 所以0 < | y - b |
: 但是 | g(x) - b | < δ_1 其中的 g(x) 有可能等於 b
: 所以不等式 0 < | g(x) - b | 可能不成立
: 那麼| f(g(x)) - c | < ε 如何一定成立呢?
: 謝謝
因為g(x)可能等於 b, 如上面例子
所以條件要再加上 f 在 b 點連續
把 g(x)=b 的情形納進來
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◆ From: 114.39.154.3