推 kusoayan :高招 12/27 20:23
推 LimSinE :簡單的實數 12/27 20:29
→ chy1010 :選有理數只是想說拆成 M/N 會不會比較簡單 12/27 20:50
→ chy1010 :事實上不需要就是了.... M 可以是隨便選的數 12/27 20:51
給定 a_n -> 0 遞減.
先證明 {ma_n | m,n 為正整數} 可以任意趨近正有理數.
取一正有理數 M/N, 考慮這個差
|M/N - ma_n| = |M - mNa_n| / N
現在 m,n 都未定, 我們想辦法取到 m 讓上述的差夠靠近.
令 m = [M / (Na_n)], 其中 [] 是取高斯
所以有 0 <= M - mN a_n < Na_n,
故 0 < M/N - m a_n < a_n
因為 a_n -> 0, 因此只要先取好 a_n 再取 m, 這個差可以任意小.
於是 {ma_n | m,n 為正整數} 可以任意逼近正有理數,
因此會 dense 在非負實數中.
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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。
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