推 tokyo291 :感謝!這種想法是第一次看到,很特別 12/28 01:36
→ ckp4131025 :版娘好正 01/21 22:09
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
: 1. 1 cost
: ∫ -------dt
: x t^2
: lim ------------------ 這一題感覺是要使用L'Hospital作
: x->0+ 1/x
: 可是該如何證明分子的部分是發散到無窮呢?
: 因為我是用程式跑,看起來會發散
提供一個純估計不用L'hopital做法
(因為你對分子微分的結果是用微積分基本定理，而微積分基本定理的條件需要被積函數
在該點得連續性)
我要證：
if f(t) is bounded on (0,a] with lim f(t) = L
t→0+
and f is Riemann integrable on [x,a] , for all 0<x<a
a
∫ f(t)/t^2 dt
x
then ─────── → L as x→0+
1/x
a
(idea：這其實不意外 因為它等於x*(∫ f(t)/t^2 dt)
x
y a
而因為x→0+，所以拆成∫ + ∫，後項會被x壓到0，一點貢獻都沒有
x y
也就是說 重點在於靠近零的那一段積分值是多少
靠近零時 f靠近L 所以相當於在積 L/t^2 因此有這個結果蠻合理的)
<pf>
因為 lim f(t) = L
t→0+
所以任給ε>0 存在δ>0,使得當0<t≦δ<a時, L-ε<f(t)<L+ε
所以 (L-ε)/t^2 < f(t)/t^2 < (L+ε)/t^2 , t€(0,δ]
對於所有0<x<δ 同時積[x,a] 拆成[x,δ] 與 [δ,a] ,我們得到
δ a a δ a
∫(L-ε)/t^2 +∫ f(t)/t^2 ≦ ∫ f(t)/t^2 ≦∫(L+ε)/t^2 +∫ f(t)/t^2
x δ x x δ
~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~
↓ ↓
-(L-ε)[1/δ-1/x] -(L+ε)[1/δ-1/x]
同乘x後得到
a a a
-(L-ε)[x/δ-1] + x∫ f(t)/t^2 ≦x∫ f(t)/t^2 ≦-(L+ε)[x/δ-1] + x∫ f(t)/t^2
δ x δ
當x→0+
a a a
-(L-ε)[x/δ-1] + x∫ f(t)/t^2 ≦x∫ f(t)/t^2 ≦-(L+ε)[x/δ-1] + x∫ f(t)/t^2
δ x δ
~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
↓ ↓ ↓ ↓
L-ε 0 L+ε 0
所以原式極限存在且等於L
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.21.204 (12/27 21:10)