[線代]向量空間

[linshihhua (linshihhua)]

向量空間若為有限維度，

則定義出來的任何范數所誘導出的拓撲是相同的，

請問該如何證明?

(If V is a finite-dimensional vector space,

then all norms on V define the same topology.)

就是由norm ||‧||定出metric, d(x,y)=||x-y||,

然後再由metric定出open ball B_r(x)={y in V| d(x,y)<r}

然後再由open ball定出開集合然後形成topology

也就是所有的開集合形成一個topology

想問就是在有限維下的向量空間，

任何的norm所造出的topology是否相同?

若相同則該如何證明?

另外所有的m*n階矩陣所形成的向量空間維度是m*n嗎？

還有若向量空間的維度是無限維，

則有辦法定義內積使他成為一個內積空間嗎?

感謝解惑。

--
       ●                       ●                  李ㄆㄧㄚˋ眉頭一皺!
   ◢███◣   ████   ◢████◣  ◢ ██ ◣  驚覺南方公園早被停播!
   ▂▂▂▂▂ ◢████◣ ██████  █◤  ◥█   深深覺得黑棒一定不清純!
     ㄟˇㄏ◤ █ ㄟˇㄏ █    ㄟˇㄏ     █ㄟˇㄏ█  原創 ψindiaF4  Happy
     ㄧ..ㄧ   █ ㄧ..ㄧ █    ㄧ..ㄧ     █ㄧ..ㄧ█       ψdiabloq13  Push
   ◥ /︷\ ◢  ◥ /︷\ ◤  ◥  /︷\  ◢  ◥.◣◢.◤  改圖 ψfreefrog     Doll

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.128.127.71
推 mathphysics :m*n矩陣所形成的向量空間維度的確是m*n(前提在常用
→ mathphysics :的運算之下。
→ mathphysics :內積空間跟維度沒有關係。
→ mathphysics :根據定義，在向量空間上"建立"內積的概念，這樣的概
→ mathphysics :念組合(V(F),<.,.>)就是內積空間。
→ mathphysics :內積空間是一個問題，維度是另外一個問題。
→ mathphysics :請問你第一個問題 可以用英文表達嗎@_@!
※ 編輯: linshihhua      來自: 140.128.127.71       (12/29 00:46)
推 WINDHEAD    :你就先證明一個類似 Lipschitz 不等式的東西就好
推 keroro321   :樓上已提示你如何證了,想想不同metric時有種簡單情形
推 THEJOY      :你需要知道幾件事情
→ THEJOY      :1. 兩個norm等價的定義, norm等價是一個等價關係
→ THEJOY      :2. 有限維向量空間同構於同樣維度的R^n
→ THEJOY      :3. R^n上的norm都等價
推 mathphysics :Remark:所以內積空間裡面具有向量空間的結構，可以
→ mathphysics :探討維度問題。
→ sneak       : 根據定義，在向量空間上 https://muxiv.com
→ sneak       : 你需要知道幾件事情 https://daxiv.com
→ sneak       : 你就先證明一個類似 L https://noxiv.com
→ sneak       : 的運算之下。 http://yofuk.com
→ muxiv       : 所以內積空間裡面具有向 https://noxiv.com