[機統] sin(x) 的期望值

[chrisZ (ChrisZ)]

最近有人問我一個問題，我想不出來，懇請高手幫忙解答。題目如下：

假設 x 的值是介於 0 到 ∞ 裡頭的其中一個值，

且 x 為均勻分佈

（這個說法很怪，想像成：給定三個正實數 a、b、c，且 a < b，

  那麼 Pr(x 落在 [a,b]）= Pr(x 落在 [a+c, b+c])

請問 sin(x) 的期望值為何？  因為 sin 是週期函數，

所以我的直覺是 0，但要怎麼算出來？ 請幫忙寫一下求解的過程，謝謝

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→ Lpspace     :uniform(a,b)的a,b必須是實數
※ 編輯: chrisZ          來自: 111.254.129.65       (12/29 13:06)
推 a81288653   :均勻分布值域不會是[0,inf]吧
對，沒錯。所以我不知道怎麼表達。

簡單說，這題相當於是求 sin(x) 的平均值。

我的想法是 sin(x) 的值會每隔 2π 重複出現。
如果 x 的值是均勻分佈在 [0, 2π]，
那麼 sin(x) 的期望值 = 1/(2π) 積分(0~2π)sin(x)dx = 0

但題目是「求 sin(x) 的平均值，x 可以為任意值」，計算過程要怎麼寫？
※ 編輯: chrisZ          來自: 111.254.129.65       (12/29 15:50)
→ akrsw       :所求 =∫sin(x)dx /∫dx，積分範圍都是 0 到無限大。
→ akrsw       :分子有限，分母無限大，故所求為零。有誤請指正。
推 nyu5765     : 這題經典…
推 nyu5765     : 這題很經典...