1(a): 矩陣的 row space 是所有 row vectors 線性組出的空間。
rank(B) 是矩陣B row space 的維度。
如果我有個 1xn 的 row vector a1，乘在 B 的左邊，
那麼會得到另一個 1xp 的 row vector (a1*B)
a1 從矩陣A左邊做乘法，等於是用a1中的entry當係數，對B的 row vector 做線性組合
(我覺得這是初學線代很關鍵的概念)
因此，你可以把 A 矩陣想像成 m 個 row vector a1, a2, ... am
每個對 B 做左乘法之後，分別成為矩陣 AB 的 row vectors
接下來就很清楚了：矩陣 AB 的每個 row 都是矩陣B的 row vector 的線性組合
那麼 row space (AB) 一定屬於 row space (B)
所以 rank(AB) <= rank B
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
: 1.The RANK rank(A) of a matrix A is the maximum number of linearly independent
: rows in A. (大寫的rank在原題目敘述中是斜體字,不知道為什麼要兩個rank)
: (a) Prove that for any m*n matrix A and any n*p matrix B, we have
: rank(AB)<=rank(B).
: (b) Prove that for any n*n matrix A and any n*p matrix B, if A is invertible
: then rank(AB)=rank(B).
: 2.Suppose M is an n*n matrix in which all entries are nonnegative and all
: column sums are 1.
: (a) Prove that 1 is an eigenvalue of M
: (b) Prove that for each eigenvalue λ of M, we have |λ|<=1.
: 這兩題想很久都想不太出來...
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~因為生活已經太複雜了
所以就讓我們的愛情單純吧~
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※ 編輯: microball 來自: 216.165.95.72 (12/30 07:58)
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