推 nnn820328 :想請教一下 (let tan^-1 x=y, dx=(sec y)^2 dy) 01/01 22:46
→ nnn820328 :這個是怎們出來的 有點看不太懂 01/01 22:46
→ cheesesteak :arctan x=y, x=tany, dx=(secy)^2 dy 01/01 22:57
推 nnn820328 :了解 剛想說tan^-1 x的微分怎們會是(secy)^2 01/01 23:13
※ 引述《betray911015 (回頭太難)》之銘言：
1. ∫x(tan^-1 x)^2 dx
如果tan^-1 x為一次方的話，我會用分部積分去解。
但現在為二次的話，我一樣用分部積分好像行不通，
有什麼方法可以解決的?
∫x(tan^-1 x)^2 dx
=∫(tan^-1 x)^2 d(x^2/2)
=x^2(tan^-1 x)^2/2-∫(x^2/2) (2tan^-1 x) /(1+x^2) dx
∫(x^2/2) (2tan^-1 x) /(1+x^2) dx (let tan^-1 x=y, dx=(sec y)^2 dy)
=∫(tan y)^2 y (cos y)^2 (sec y)^2 dy
=∫y(sec y)^2 dy -∫y dy
=ytan y-ln|secx|-y^2/2+C
=xtan^-1 x-0.5ln(1+x^2)-0.5(tan^-1 x)^2 +C
Thus, ∫x(tan^-1 x)^2 dx
=0.5x^2(tan^-1 x)^2-xtan^-1 x+0.5ln(1+x^2)+0.5(tan^-1 x)^2+C
x^2
2. ∫ ---------dx (let x=tan y, dx=(sec y)^2 dy)
(1+x^2)^2
=∫(sin y)^2 dy
=y/2-(sin 2y)/4+C
=0.5y-0.5sin y cos y+C
=0.5y-0.5tan y/(sec y)^2+C
=0.5tan^-1 x-0.5x/(1+x^2)+C
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What hurts more, the pain of hard work or the pain of regret?
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◆ From: 123.50.53.81
※ 編輯: cheesesteak 來自: 123.50.53.81 (01/01 07:15)