推 ChocoRs :謝謝!! 01/02 14:39
→ akrsw :想到一個比較簡單的作法：原式乘上 exp(x) 可變成 01/04 09:44
→ akrsw :exact，可算出 y^2 exp(x) + 2 y exp(2x) - c = 0， 01/04 09:44
→ akrsw :與我之前算出的答案等價。 01/04 09:45
※ 引述《ChocoRs (巧克先生)》之銘言：
: Solve the first differential equation
: 2
: y x x
: (－－－) + 2ye dx +(y+e )dy = 0
: 2
http://www.lib.nctu.edu.tw/n_exam/exam97/mmsc/mmsc4052.pdf
第 6(b) 小題
y^2 / 2 + 2 y exp(x) dx + ( y + exp(x) ) dy = 0
我懷疑題目少了一個括號。
假設正確題目如下：
( y^2 / 2 + 2 y exp(x) ) dx + ( y + exp(x) ) dy = 0
y^2 / 2 + 2 y exp(x) + ( y + exp(x) ) dy/dx = 0
假設 y = a exp(x) 是一個解 (其中 a 是不等於 0 的常數)，
帶回原式化簡後可得 a = -2。
故 y = -2 exp(x) 是一個解。
假設 y = -2 u(x) exp(x) 是解，帶回原式化簡後可得
3 u^2 - 3 u + 2 u du/dx - du/dx = 0
-3 dx = (2u-1)/(u(u-1)) du
= ( 1/u + 1/(u-1) ) du
-3x + c1 = ln|u| + ln|u-1| (其中 c1 為常數)
= ln|u(u-1)|
u(u-1) = +- exp(-3x + c1)
= +- exp(c1) exp(-3x)
= c2 exp(-3x) (其中 c2 = +- exp(c1) )
u^2 - u - c2 exp(-3x) = 0
u = ( 1 +- √( 1 + 4 c2 exp(-3x) ) ) / 2
= ( 1 +- √( 1 + c exp(-3x) ) ) / 2 (其中 c = 4 c2 )
y = -2 u(x) exp(x)
= -exp(x) -+ exp(x)√( 1 + c exp(-3x) )
= -exp(x) -+ √( exp(2x) + c exp(-x) )
http://ppt.cc/SW7Z (Wolfram|Alpha)
有誤請指正。
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