[高微]數列和級數的幾題

[y15973 (B.H)]

                            ∞  sin nθ    ∞  cos nθ
1. 根據Dirichlet test，級數 Σ---------- 及Σ---------- 收斂。
                            1     n         1     n

   根據複對數log w = log|w| + i arg(w) ， 分別求他們的值

                 1
這題小弟我有想用--- 和 sin nθ 做 Dirichlet test
                 n
但看著log = log|w| + i arg(w)就沒什麼感覺




2.  試分別就Ratio test及Root test判斷級數是否收斂

         a      b            a      b            a      b
          1      1     1      2      2     1      3      3     1
    1 + ---- + ---- + --- + ---- + ---- + --- + ---- + ---- + --- + ........
         2      2      3     4      4      5     6      6      7

                             n
    其中 a  = r    b  = 1 - r     0 < r < 1
          n         n


            ∞
3.  a  > 0  Σa_n = ∞   S  = a  + a  + a  + ... + a  ， 試證明
     n      1             n    1    2    3          n

    ∞   a_n             ∞   a_n
    Σ ------- < ∞   ， Σ ------- = ∞
    1      2             1     S
          S                     n
           n


拜託版上的神人了><

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 42.75.127.2
推 chy1010     : Σ e^{inθ}/n 的實虛部 直接算, Abel theorem
推 keroro321   :1.試Im(-ln(1-z)) 細微部分要自己注意一下
推 suhorng     :\sum sin(nx) 跟 \sum cos(nx) 都是 bounded
→ suhorng     :e^(iu) = cos u + i sin u 等比級數