作者subtropical (風大雨大)
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標題Re: [微積] 四題微積
時間Thu Jan 3 18:00:03 2013
希望回在那偉大數學家下面不會影響XD
有幾題我算出來還請大家看看，也還有幾題不會
1.證明以下空間內 不動點(固定點)存在 (f(c)=c, c屬於空間)
a.f:[0,1]->[0,1] monotone decreasing
b.f:[0,inf)->[0,inf) monotone increasing
c.f:[0,inf)->[0,inf) monotone increasing 並有上界
這題我還不會....a我覺得Trivial用途就可以看出來了，不過是數學要證明..
c代表convergence? 但是b跟c應該也都有固定點才對?
2.(an)n屬於N 永遠為正, (an+1項)/an項有界
a.證明 lim inf(an+1項/an項) <or= lim (an項)^(1/n) <or= lim sup (an項)^(1/n)
<or= lim sup(an+1項/an項)
這邊的inf最大下界 sup最小上界
每一項都是取n->inf
b.用a解(n+1)/((n!)^(1/n))是否收斂和邊界值
這題我也還不會Orz
3.f:R->[0,1]
f(x):= 0,當x=0
1/q, 當x=p/q rational
0, 當x irrational
證明：f連續
答：
由於f在無理數為0在有理數為1/p 所以可見在有理數(除了0)是不連續的
但在無理數是連續的，證明：
不失一般性設一無理數a在[0,1]，有一有理數1/q跟a最接近，距離為u
則必存在另一有理數p'/q'，距離a比1/q近，且q'>q
所以f(x)=1/q1 < 1/q
現取q為大於1/E的最小正整數。
所以可得|f(x)-f(a)|=|1/q1|<1/q<E
由定義可得lim(x->a) f(x) = f(a) = 0 所以a在[0,1]連續。
同樣的方法，可得無理數在其他區間也都是連續的
有理數在0也可用一樣方法得證連續
4.由Lipschitz連續推得均勻連續，並證明不可逆推
"=>" 設E>0任意取，取一u=E/L
因為f是Lipschitz連續，所以x,y屬於D且||x-y||<u
||f(x)-f(y)|| <or= L*||x-y|| < L*u = L*E/L = E 所以f亦為均勻連續
"<=" 還沒想到Orz..
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◆ From: 91.89.72.29
推 kusoayan :3. f在有理點應該不連續吧？ 12/28 10:35
Ya, 不過0連續嗎?
→ keroro321 :1. a.╳ b.╳ c. d = inf{x|x≧f(x)} 12/28 12:06
能請版大解釋一下嗎@@? 我直觀以為都會有固定點耶..
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◆ From: 149.172.236.51
→ Sfly :1.(a)(c)類似證法 (b)反例 f(x)=x+1 01/03 18:32
推 keroro321 :1a(1/2,1/2)連(0,1)去掉(1/2,1/2),(1/2,1/4)連(1,0) 01/03 19:15
→ zako1113 :1a consider g(x)=f(x)-x, intermediate value thm 01/03 23:01
→ suhorng :f不一定是連續吧? 01/03 23:05
→ arsenefrog :f(x)=x+1不符題意吧XDD 但f(x)=x/2之類就可以了... 01/04 08:06
→ arsenefrog :啊 看錯了囧... 沒事 01/04 08:08
→ subtropical :我原本想說f(b)-a或是f(a)-b..@@ 謝謝 我再試試看 01/04 08:29
→ subtropical :不過還是看不懂Keroro大1a的解釋Orz 01/04 08:30
推 keroro321 :f(x)=1-x 0≦x<1/2 ,f(x)=(1-x)/2 1/2≦x≦1 01/04 10:56
→ subtropical :我算算:) 01/04 16:37
→ sneak : //daxiv.com 11/10 11:15