[微積] 一題分點的積分和交錯級數審斂法的疑問

[tokyo291 (工口工口)]

1.
           ∞
若無窮數列 Σ a_n 要收斂
           n=1

則用交錯級數審斂法,收斂條件要(1)a_n+1<a_n (遞減)

                             (2) lim a_n=0
                                n->∞
          ∞ (lnk)*(-1)^(k+1)
一個題目為Σ ----------------
          k=1       k

這一題的 lim a_n=0  但是從k=1開始卻不是遞減 a_1<a_2<a_3
        n->∞
k=3之後才會是遞減數列,請問這種情形還能夠說他是收斂嗎?

                          ∞ (lnk)*(-1)^(k+1)
想說如果把原式分成a_1+a_2+Σ ----------------
                          k=3      k

後面的部分為遞減且極限值也為0這樣子看的話就會是收斂

這樣的想法是正確的嗎?

2.
      0   if    x<1               0  if    x<1
      1   if 1=<x<2               x  if 1=<x<2
f(x)= 2   if 2=<x<3         g(x)=2x  if 2=<x<3
      2   if 3=<x                2x  if 3=<x


(1)                          (2)
 ∞                           ∞
 ∫xdexp(-f(x))               ∫x*exp(-g(x))dx
-∞                          -∞
這一題積分我是想說看範圍來討論,可是還是沒有甚麼幫助

請問該做甚麼轉換才能做出來呢?

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◆ From: 140.116.52.26
→ suhorng     :可以丟掉任意有限項 不影響斂散結果
→ yhliu       :瑕積分審歛, 如同級數, 看尾巴部分即可.
→ yhliu       :第2題第(1)小題 x<1 或 x>3 時 exp(-f(x)) 為常數;
→ yhliu       :第(2)小題 x<0 部分 exp(-g(x)) 恆等於 1.\
→ tokyo291    :那請問如果我把dexp(-f(x))=-f'(x)*exp(-f(x))
→ tokyo291    :然後因為f'(x)=0所以原式為0這種作法可以嗎?
推 suhorng     :Riemann-Stieltjes integral處理不連續的點要注意
→ suhorng     :第一題為 1*[e^(-f(1-)) - (e^(-f(1+))] +
→ suhorng     :2*[e^(-f(2-)) - (e^(-f(2+))]
→ suhorng     :其中對函數 h, h(a-) 代表左極限, h(a+) 右極限
→ tokyo291    :我都忘了是不連續點...多謝提醒!
→ sneak       : 第2題第(1)小題 x https://noxiv.com
→ sneak       : 瑕積分審歛, 如同級數 https://daxiv.com
→ sneak       : 其中對函數 h, h( https://daxiv.com
→ sneak       : 可以丟掉任意有限項 不 http://yofuk.com
→ muxiv       : 第一題為 1*[e^( http://yaxiv.com