推 caron0225 :感謝~長知識了~~這我也困惑很久了!!! 01/07 00:35
※ 引述《cutetoy (玩具)》之銘言：
: 請問 Riemann Stieltjes integral
: 有幾何上的意義嗎?
: 像是一般的Riemann integral
: 可以用畫圖解釋理解 (X-Y座標即可)
: 那在定義上多出一個 a(x) function 的 Riemann Stieltjes integral
: 可以用畫圖做解釋嗎?
: a(x)的幾何意義又是什麼呢?
: Riemann Stieltjes integral的幾何意義呢?
: 為什麼會需要一個新的a(x)函數
: 來定義:
: n
: U(f.p.a)= Σ sup{ f(x):x屬於[Xi-1,Xi] }*(a(Xi-1)-a(Xi))
: i=1 ↑↑↑↑↑↑↑
: 公式裡面原本的"底"呢?
: 老師說
: 當 a(x)=x 的時候
: Riemann Stieltjes integral 就變成一般的 Riemann integral 了
: 那當 a(x)=x^3 (之類的) 的時候
: 兩者差在哪呢?
: 可以用幾何意義解釋嗎?
Riemann integral
∫f(x) dx
要表達的概念是
lim Σ f Δx
Δx->0
上面的極限只是表達一個概念
用白話來說就是「把 x 分割成無限小的小段，每一段的長度乘上對應的f，再加起來」
但是實際上要怎麼分，怎樣叫無限小，並沒有明確的定義
Riemann integral就是把這個概念明確的定義出來使之可以嚴格的計算
而
Riemann Stieltjes integral
∫f(x) da(x)
的概念則是推廣為
lim Σ f Δa
Δa->0
一樣是把 "a" 分成很多小部份，每一部份乘上對應的 f ，再加起來
差別在於 f 未必是 a 的函數
而 f 和 a 都是 一個共同變數 x 的函數
例如一根細棒繞一端轉動的轉動慣量的定義
就物理上的概念應該是
I = lim Σ x^2 Δm
Δm->0
翻成白話就是把細棒分成很多小段，每一小段的質量乘上與端點的距離平方，
再加起來
但是要怎麼分段，怎麼加，卻沒有明確的定義
如果棒子的質量是均勻分布, Δm = μΔx
轉動慣量可以寫成 I = ∫μx^2 dx
這個積分可以用 Riemann integral 來計算
如果棒子的質量是不均勻的則可以定義
m(x)為「從端點到x之間的棒子質量」
此時每一小段的質量就是 m(x_(i+1)) - m(x_i)
轉動慣量可以寫成
I =∫x^2 dm(x)
而這個積分就要用Riemann Stieltjes integral 來計算
而兩者之間有時是可以互相轉換的
以上例來說
如果 m(x)連續可微，也就是說
μ(x) = m'(x) 為連續函數
此時 μ(x) 就是棒子的密度
那"概念上"轉動慣量也可以表示為
lim Σ x^2 μ(x)Δx
Δx->0
白話的說就是
把棒子分成很多段，每段的長度乘上該處的密度就是該段的質量
乘上與端點距離的平方再加起來
用符號來表示就是
I = ∫x^2 μ(x) dx = ∫x^2 m'(x) dx
可以推測在 "某些條件" 下:
∫f(x) dm(x) = ∫f(x) m'(x) dx
而上式成立的條件和證明則還是得從嚴格的定義去著手
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※ 編輯: mantour 來自: 61.57.113.14 (01/06 17:23)
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