Re: [中學] 橢圓外切矩形極值一問

[tzhau (生命中無法承受之輕)]

※ 引述《shingai (shingai)》之銘言：
: 想請問板上
: 對此極值問題有研究的高手提點
: 題目是這樣
: 橢圓 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
: 的所有外切矩形中
: 要用甚麼方式一併說明
: 最大面積為 2(a^2+b^2)
: 最小面積為 4ab
: 謝謝喔


橢圓外切矩形的四個邊為兩組互相垂直的平行線

設其中一組為y=mx±√(a^2m^2+b^2)

設此組平行線距離為d_1,則  d_1=2√(a^2m^2+b^2)/√(m^2+1)

另一組由垂直可得y=(-1/m)x±√[a^2(1/m^2)+b^2)]

設此組平行線距離為d_2,則  d_2=2√(a^2+b^2m^2)/√(m^2+1)

因此矩形面積=d_1xd_2=4√(a^2m^2+b^2)√(a^2+b^2m^2)/(m^2+1)------(*)

(1)(最大值)

    由算幾不等式知

    (1/2)[(a^2m^2+b^2)+(a^2+b^2m^2)]>=√[(a^2m^2+b^2)(a^2+b^2m^2)]

=>  (1/2)(a^2+b^2)(m^2+1)>=√[(a^2m^2+b^2)(a^2+b^2m^2)]

=>  (1/2)(a^2+b^2)(m^2+1)>=[(m^2+1)d_1d_2]/4 (由(*))

∴ d_1d_2<=2(a^2+b^2)

(2)(最小值)

    由柯西不等式知

     (a^2m^2+b^2)(b^2m^2+a^2)>=(abm^2+ab)^2

=>   √[(a^2m^2+b^2)(a^2+b^2m^2)]>=(abm^2+ab)

=>   [(m^2+1)d_1d_2]/4>=(ab)(m^2+1)

∴ d_1d_2>=4ab













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◆ From: 114.40.29.102
推 shingai     :清楚明瞭，謝謝喔:)
→ shingai     :想再請問當發生最小值時，要怎麼說明斜率值?
→ shingai     :沒事 我了解了