Re: [微積] 函數根號做積分

[oginome (荻野目洋子)]

※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: 題目類型：函數根號做積分
: f(x)=[1+x^(2)]^(1/2)
: 積分f(x)
: 小弟實在無從下手，也無想法可解！
: 實在是想不出來該如何解法！
: 麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！

  doa2大所言正解。

  解題概念：
                         ＿＿＿＿＿
  在積分式中有遇到根號 √x☆♀⊙♂ 的狀況時，首先把根號處理掉是必要的

  那如何處理這些根號？原則上傾向於把根號內的東西x☆♀⊙♂打包看成是某種
                                            ＿＿＿＿＿    ＿＿
  未知數的平方，比如說x☆♀⊙♂＝T^2，那麼√x☆♀⊙♂ ＝√T^2  ＝ T，

  根號就先處理掉了，這時候專心來處理T，得到以T為變數的解之後，再按照原先

  所設的x☆♀⊙♂＝T^2之間的關係，把T代換為原來的變數x就大功告成。

  在積分之中要處理根號，三角不等式是很常見的一種方式：

  sin^2(x) + cos^2(x) = 1

  tan^2(x) + 1 = sec^2(x)

  1 + cot^2(x) = csc^2(x)

  本題處理方式：

  doa2大已經給出提示：
                                              ＿＿＿
  另x=tan(y), dx=sec^2(y)dy，將前述條件帶入 √1+x^2  dx 中可得
    ＿＿＿＿＿＿
  √1 + tan^2(y) sec^2(y)dy

  BY三角不等式，1 + tan^2(y)=sec^2(y)
        ＿＿＿＿＿＿                ＿＿＿＿
  所以√1 + tan^2(y) sec^2(y)dy = √sec^2(y) sec^2(y) dy = sec^3(y)dy

  接下來你只要把∫sec^3(y)dy 解出，得到一個y的解，再轉回x就得到你的答案了。





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◆ From: 114.27.10.72
→ oginome     :上一篇since2005大幫你把sec^3積分解完了，你看完我
→ oginome     :的，接著看他的就結束了。
→ since2005   :原PO推文下面補了原題目 XD 是另外一回事哈哈~
→ oginome     :這....since2005大～>_<