推 adadadadad :未看先謝 01/09 11:22
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.249.241 (01/14 18:06)
※ 引述《adadadadad (畢業才是真的)》之銘言：
: 現在有一個矩陣
: [ 3 -1 -1 ] -1 [ 1/3 1/15 1/15 ]
: A= [ 0 2 1 ] A = [ 0 4/5 -1/5 ]
: [ 0 3 4 ] [ 0 -3/5 2/5 ]
: 解出 eigenvalue 是 3,1,5
: [c]
: eigenvector λ=3 [0] c是常數
: [0]
: [0 ]
: λ=1 k[1 ] k是常數
: [-1]
: [-2]
: λ=5 m[ 1] m是常數
: [ 3]
: 運用前面的結果
: 現在題目要解 y1'= 3y1-y2-y3 初始值 y1(0)=0
: y2'= 2y2+y3 y2(0)=2
: y3'= 3y2+4y3 y3(0)=2
: http://rapid.lib.ncu.edu.tw:8080/cexamn/exam/EC06_100_02.pdf
: 第五題的第二小題
其實你已經把問題解完了
看法(1)
[y1]
|y〉= [y2] => |y〉' = A|y〉 是你的微分方程式
[y3]
這個方程式的解是 exp[tA]|y0〉, 矩陣在exp上由冪級數（泰勒展式）定義。
用eigenvector為column湊出來的矩陣Q可以把A對角化
Q = [|q1〉|q2〉|q3〉], |qi〉是你解出來的 eigenvector
-1
Q A Q = D
把 exp[tA]上的 A 對角化之後
-1 [exp[tλ1] ] -1
可以得到 Q exp[tD] Q = Q [ exp[tλ2] ] Q
[ exp[tλ3]]
把|y0〉乘上去就是答案
所以你有 |qi〉, 有|y0〉, 有λi基本上已經解完了。
看法(2)
-1
已知 Q A Q = D, |y〉' = A|y〉
-1
令 Q|v〉= |y〉 -------> |v〉' = Q A Q|v〉= D|v〉
因為 D 是對角矩陣，所以有三個獨立的 v_i 一階微分方程式可以直接解。
最後 |y〉= Q |v〉就完了。
看法(3)
知|y〉' = A|y〉，猜答案 exp[λt]|q〉
代入微分方程式得 A|q〉=λ|q〉故知|q〉eigenvector
解為所有eigenvectors的線性疊加 Σci|qi〉exp[(λi)t]
i
代入初始條件可得 ci
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這篇一直打 QAQ 感覺在描述我期末考的心情 QAQ
前幾天剛好交一份類似的作業，細節裡面都有，不過我比較遜矩陣是 2 by 2的XD
http://db.tt/DnRThuZf
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