→ flurry :感謝解答 01/10 19:56
※ 引述《flurry (徹徹底底的失敗者)》之銘言：
: 各位板友好, 最近在練習幾個證明題, 但是
: ∫[sin(nx)/sinx]^2 dx 從0積到pi的積分實在不知
: 如何下手, 還請知道方法的板友提供一下方法,謝謝!
: 漏了提供答案, 積分的結果是 npi, 謝謝各位
如果要拆~~可以想想看把sin nx用Euler identity把它拆開來:
令z=cos x+ isin x, 那麼 sin x =(z-z*)/2i, z*為z的共軛複數。
可以利用棣美弗定理知道sin nx =(z^n-z^n*)/2i。因為zz*=1所以
z^-1=z*。所以我們可以把
sin n x/ sin x ={z^n-z^(-n)}/{z-z^-1}=z^{-n}(z^{2n}-1)/{z^-z^(-1)}
同乘z之後 可得 z^{-n+1}(z^{2n}-1)/(z^2-1)
就想成等比級數
z^{-n+1}(1+z^2+z^4+...+z^{2n-2})
=z^{-n+1}+z^{-n+3}+...+z^{n-3}+z^{n-1}
這是最直觀的想法，至於這樣能不能做你可以試試看
是不是有其他方法?當然有~~不過這些想法彼此都有類似之處。
如果你學過Fourier級數就用這去想
如果沒學過~~剛好也可以想想。
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