[微積] a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt)

[alfadick (悟道修行者)]

運動學中：

定義x'(t)=v(t),  v'(t)=a(t)


有不少人說：a=dv/dt=(dv/dx)*(dx/dt) 是對的，

還藉此推導了一些公式來解題目，

我懷疑這是錯的。來這邊問問大家。

對照 Calculus textbook 上 chain rule 的 syntax,


df(g(x))     df(y) |                dg(x)
--------- = ------ |            *  -------
dx           dy    |  y=g(x)         dx


(註：stewart, larson, varberg 等傢伙的微積分書的 chain rule 都沒有 |
                                                                   |y=g(x)

的寫法，而都是直接寫 df(g(x))/dx = (dy/du)  * (du/dx)，

對不起，我必須說他們全都寫錯了 :)。

如果你是老師，記得講課時幫學生更正一下。

)

話拉回來，

chain rule 要能成立，可是有前提的。

對整個被微分對象而言，

1. 他必須是兩個函數所合成的合成函數f(g(x))，

等號右側可寫成二項相乘：


   一項是    ── 外面的函數f以y表示時(即f(y))，對y微分的結果

                  或者說：f(y)對y微分，得到的導函數再將y=g(x)代入

                  或者說：說 f(g(x)) 對 g(x) 微分

            注意，不能說f(x)對g(x)微分，那差太遠了

  另一項是   ── 裡面的函數g(x)對x微分。



總之，這要能成立： a=(dv/dx)*(dx/dt)


根據上面 chain rule 樣貌，a 應等於   dv(x(t))
                                    ----------
                                        dt

 v(x(t)) 微分恆為 a(t) 嗎？

又同樣邏輯， a= dv(t)/dt， 所以 a= dv(t)/dt = dv(x(t))/dt，

兩個函數的導函數一樣，不知道有沒有兩個函數必相等的 theorem，

如果有， v(t) 就是  v(x(t)) 了 > <


網路上不少人以之為對（他們給不出證明），我有點保留。

請大家來討論看看。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.25.8.27
→ alfadick    :感覺完全是數學問題，就來這邊問了 :)
→ ma4wanderer :能不能把df(g(x))/dx = (dy/du)*(du/dx)寫正確點
→ ma4wanderer :不然很難了解是啥意思
可以，http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 21:07)
→ ma4wanderer :這樣的話...你說錯誤的式子跟正確的有啥差別嗎@@"
→ ma4wanderer :然後..a=dv/xxx的dv的v應該還是t函數不是x函數吧
→ ma4wanderer :(dv(x)/dt)(dt(x)/dx)所以跟連鎖律應該不同
→ ma4wanderer :大概吧
→ harveyhs    :痾...那幾本書只是沒有強調而已，取值還是在那點取啊
→ BaBi        :那幾本書沒寫錯啊... 表示方法的不同而已
→ alfadick    :先不管Calculus textbook的chain rule notation有沒
→ alfadick    :有錯啦... 先看 a=dv/dt=.... 有沒有錯 QQ
→ BaBi        :只有我看不懂原po的敘述嗎...
→ alfadick    :physics板有加了些註，Babi大, 可看一下
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.8.27          (01/10 22:20)
→ ma4wanderer :我認為那個dv/dx的擴張不是連鎖律吧
→ sneak       : 先不管Calculus https://noxiv.com
→ sneak       : 只有我看不懂原po的敘 https://daxiv.com
→ sneak       : (dv(x)/dt)( https://daxiv.com
→ sneak       : 痾...那幾本書只是沒 http://yofuk.com
→ muxiv       : 我認為那個dv/dx的 http://yofuk.com