推 suhorng :第三題不是用 f(x) = 1/x - s 牛頓法嗎? 01/12 11:02
→ EdisonX :!! 真的推出來了, f(x) 一直沒設對 , 謝謝 suhorng. 01/12 11:23
牛頓法最近有需求，又回來 k 過，但遇到以前沒想過的問題，
請先進不吝解惑。
問題長，願以稅前 500P 請有心人指導。
以下 x_n+1 以 x1 表示； x_n 以 x0 表示，所以牛頓法公式表示成
x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)
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1. 求 s 之根號倒數 < 1 / sqrt(s) >
我比較常看到的是 x1 = 0.5 * x0 * (3 - s * x0^2 )
自己推過後發現似乎兩種表示法都可以。
(1.a) 令 f(x) = x^(-2) - s , 推得 x1 = 0.5 * x0 * (3 - s * x0^2)
(1.b) 令 f(x) = x^2 - (1/s) , 推得 x1 = 0.5 * (x0 + 1 / (s*x0) )
拿求 1/ sqrt(100) 為例，分別以 x0 = 0.01 , x0 = 0.001 ,
這兩種方式都求得出來，計算機按到數值一樣視為收斂 (大概15位數吧)
(1.a) 收斂次數為 10 次 / 16 次； (1.b) 收斂次數為 7 次 / 11 次，
想請教是否必為 (1.b) 收斂較佳？又此兩函式在使用上是否有需要注意的地方？
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2. 根號 s 推導
另外想請教，以下推導是否合理 (不用牛頓法, 單純的推導)
√ｓ ＝ ｘ ， √ｓ－ｘ＝０， 同時平方， 得
２
ｓ－２ｘ√ｓ＋ｘ ＝ ０， 整理得
ｓ
ｘ ＝ √ｓ ＝ ０．５ ＊ （ ｘ ＋ －－－ ）
ｘ
請教是否所有 function 均可類似這樣「半亂湊」的方式推迭代公式？
( 當然 n 次根號的推導還是用牛頓法才方便，展開太累人 )
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3. 請教倒數 (1/s) 怎麼推？
我查數值分析的書，倒數有這樣的遞推式
x1 = x0 ( 2 - s * x0)
但該書裡面只有結論，沒有過程，只有提到「牛頓法二次收斂」，
我推半天一直都推到無效方程組去，請教這種遞推關係是如何推得？
還有所謂的「二次收斂」意指為何？
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最後先謝謝各位版友先進不吝指教，小弟感激不盡。
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我只好當神獸了 ~
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