推 jack750822 :這段好像就是高一學的要死又不知道在幹嘛的複數... 01/13 10:48
推 yclinpa :直接去唸體論 field theory 比較實在 01/13 11:07
: 根據根成對定理，他一定會有四個根
因為嚴格來說沒有成對定理這種東西 至少不是像上面講的那樣
: 推 suhorng :虛根的確成對 可是無理根那個不對 這是三次式 01/12 23:25
: → suhorng :x^3 - 2 的無理根沒成對 01/12 23:25
: → gagaRicky :可是有理系數方程式，若有無理根不也是成對嗎? 01/12 23:28
: → suhorng :那不是在討論 a ±√b 的情況嗎@@ 01/12 23:31
: → mantour :有理係數方程式，若有一根為a+√b, a,b為有理數則 01/12 23:42
: → mantour :a-√b也是一根 01/12 23:42
再加個小條件 : √b 需為無理數
: → mantour :由此只能反證此方程式的無理根不能表示成a ±√b 01/12 23:44
: → mantour :的形式 01/12 23:44
: → mantour :並沒有任何矛盾 01/12 23:44
高中所謂的成對定理大概就是上面講的那樣
仔細看可以知道這其實是侷限在某一些特例的根 不是每個有理係數多項式都適用
: → headafresh :檢驗不符合的意思是找不到實根嗎? 01/13 05:34
: → headafresh :如果是實係數三次多項式必存在至少一個實根(一或三個 01/13 05:37
: → headafresh :從直角座標來想，三次的方程式一定會跟X軸有交點 01/13 05:40
: → headafresh :而那個交點就是他的實根 01/13 05:40
: 推 piapiapiapia:應該是無理根都成對錯誤，只有開根號偶次才成對，開 01/13 08:41
: → piapiapiapia:根號奇次不成對，如1+√2成對，但1+2根號三次 不成對 01/13 08:43
這個定理其實是這樣的
對於有理係數多項式而言
可以證明只要有某個根 x0 則會保證到同時有一群對應的根 x1, x2, ...
這一群根 (以下稱為 x0 的同伴) 的個數會根據 x0 的值而不同
當 x0 是 a+√b 時, 它的同伴只有一個就是 a-√b 也就是上面所謂成對定理
當 x0 是 1 + 2^(1/3) 時, 它的同伴其實有兩個 : 1 + 2^(1/3) w 和 1 + 2^(1/3) w^2
其中 w 是 x^3 = 1 的複數根 (-1 + √3 i)/2
換句話說 可以證明對任何有理係數多項式如果 1 + 2^(1/3) 是它的根
則 1 + 2^(1/3) w , 1 + 2^(1/3) w^2 也一定是它的根
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