Re: [微積] 變分法求energy function的最小值

[harveyhs (Hango)]

※ 引述《lin780222 (饅頭)》之銘言：
: 問題為求解energy function的最小值
: 跪求變分學達人QQ~為了解這道式子還看了交大開放式課程，但是只知道了求此道數學式子
: 需要用到Euler-Lagrange~help me plz O^Q
: 問題如下:
: http://ppt.cc/Tsr6

energy functional:
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∫dxdy[μ(|▽u| + |▽v| ) + |▽f| |G - ▽f|  ] = E

極值條件是δE = 0

這邊δ要變的是函數 u, v所以只有 x, y的 f不會被變到

δ的運算基本上跟 d 一樣(...嗯很sloppy地講)，平常怎麼做微分，

基本上就怎麼做變分

                  2       2         2         2
 δ∫dxdy[μ(|▽u| + |▽v| ) + |▽f| |G - ▽f|  ]
                                             2
=∫dxdy 2[μ▽u。δ▽u + μ▽v。δ▽v + |▽f| δG。(G - ▽f) ]

這邊用到的性質如
       2                                      2
δ|▽u|  = ▽u。δ▽u 基本上就是微分的規則 d(f  ) = 2f df

接下來運用 ▽跟δ可交換的性質，δ▽u = ▽δu
                                                  2
然後用分部積分把 ▽移到別人身上，▽u。δ▽u = - ▽ u δu

所以
                     2           2            2
δE = 2 ∫dxdy [-μ▽ uδu - μ▽ vδv + |▽f| δG。(G - ▽f) ]

                      2         2
    = 2 ∫dxdy [(-μ▽ u + |▽f| (u - ∂f ))δu
                                       x
                     2         2
              +(-μ▽ v + |▽f| (v - ∂f ))δv ]
                                      y

    = 0

所以極值條件 δE = 0
                           2         2
會給出兩個運動方程式  -μ▽ u + |▽f| (u - ∂f ) = 0
                                            x
                           2         2
                      -μ▽ v + |▽f| (v - ∂f ) = 0
                                            y

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◆ From: 140.112.249.241
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (01/14 13:13)
推 lin780222   :先謝謝你詳盡的解說~有人能幫我真的好感動QQ~卡好久
→ lin780222   :可以再問一個問題嗎?~就是式子中的。運算子是內積嗎?
嗯，▽u跟δ▽u都是向量
     2                   2        2
|▽u|  = ▽u。▽u = (∂u)  + (∂u)
                      x        y

δ(▽u。▽u) = 2[(∂u)δ∂u + (∂u)δ∂u] = 2 ▽u。δ▽u
                   x     x      y     y

用向量寫比較簡潔XD

另外也是可以用 Euler - Lagrange equation直接微分

E = ∫L dxdy

運動方程式為


     ∂L           ∂[ ∂L    ]
 Σ －－  -  Σ  －－[－－－－]  = 0, u     =u, v, x    =x, y
  i  ∂u     i   ∂x [∂(∂u) ]        1, 2         1, 2
        i           i     x
                           i
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (01/14 14:38)
推 lin780222   :再次感謝你><