※ 引述《cosada (摳沙達)》之銘言：
: 我不會打Partial用d代替@@
: du d^2 u
: ---=k ------- -∞~x~∞ t>0 u(x,0)=g(x)
: dt dx^2
: 我兩邊取傅利業轉換後
: 算出的答案是
: 1 ∞
: u(x,t)= ---∫ U e^iwx dw
: 2π -∞
: ∞
: 其中U=∫ g(x) e^-iwx dx e^(k w^2 t)
: -∞
: 答案是這樣寫就好了嗎??
看老師要求欸，這是一個 Heat equation
解基本上可以寫成fundamental solution 和 initial condition的convolution
fundamental solution, Heat kernel 在這邊還不難求的，
是一個 Gaussian integral。
不過有的老師會只要求把積分留著就是了。
: 還有詳解是寫成 u(x,t)=
: ∞
: ∫ (A coswx + B sinwx) e^(-kw^2 t) dw
: 0
: 1 ∞
: 其中 A= --∫ g(x) coswx dx
: π -∞
: 1 ∞
: B= --∫ g(x) sinwx dx
: π -∞
: 這兩個答案是一樣的嗎?? 要怎麼轉換過去@@
: 麻煩大大指點一下 感謝各位!!
這是直接從 Fourier integral 的角度來的答案
考慮 x, y 有限，解通常會用分離變數寫成 Fourier series
將x, y 逼到無窮大，則解可寫為 Fourier integral （如果那個積分存在的話）
兩個解是一樣的
1 ∞ 2
－∫g(y)dy ∫ [coswx coswy + sinwx sinwy] exp[-kw t] dw
π 0
1 ∞ 2
= －∫g(y)dy ∫ [cosw(x-y)] exp[-kw t] dw
π 0
cos對於 w 是偶函數所以
1 ∞ 2
= －∫g(y)dy ∫ [cosw(x-y)] exp[-kw t] dw
2π -∞
1 ∞ 2
= －∫g(y)dy ∫ {exp[iw(x-y)]+exp[-iw(x-y)]} exp[-kw t] dw
4π -∞
1 ∞ 2 2 2
= －∫g(y)dy ∫ {exp[-kt(w-O) ]+exp[-kt(w+O) ]} exp[-(x-y)/4kt] dw
4π -∞
其中 O = iw(x-y)/kt
1/2
1 ∞ 2 [ π ]
= － ∫ exp[-(x-y)/4kt] g(y) dy [－－]
2π -∞ [ kt ]
1/2
∞ [ 1 ] 2
= ∫ [－－－] exp[-(x-y)/4kt] g(y) dy
-∞ [4πkt ]
這就是上面講的fundamental solution 跟 初始條件convolution的形式
把你解出來的那個積分做完，基本上會得到相同的答案
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