[線代] 如何證明這是個遞增函數呢?

[beareyes (熊眼)]

假設A,B,X都是矩陣，且A>=B>=0, X>=0

(這裡的>=都是矩陣的半正定符號)

那麼考慮今天這個式子

logdet(I+AX)-logdet(I+BX)

是個遞增函數

因為如果把他們全部看作scalar，很容易就可以證明遞增(微分大於0)

但現在是個矩陣型式，不知道該如何證明他是遞增函數呢?

謝謝大家


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◆ From: 140.114.15.49
→ cxcxvv      :矩陣形式遞增的定義是甚麼?
→ beareyes    :X'>=X, then f(X')>=f(X)
→ beareyes    :第一個>=是半正定符號，第二個>=是一般的>=
→ emitter     :矩陣遞增？他取了det之後不是還是scalar嘛？
→ yhliu       :取 det 後是 scalar, 若再加上值為正, 則可取 log,
→ yhliu       :因此是 real-valued function. 但函數的變數是方陣 X
→ yhliu       :不過,我連 I+AX, I+BX 的行列式值是否為正數也沒把握