推 ntust661 :推 01/15 17:49
推 Alcardia :感謝 01/15 17:56
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u = arctan(x)
dv = 1/x^2 dx
∫udv = uv - ∫vdu
∫arctan(x) 1/x^2 dx = arctan(x) (-1/x) - ∫1/(1 + x^2) (-1/x) dx
= -arctan(x)/x + ∫1/(x(1 + x^2)) dx
這裡不要繼續分部積分...
= -arctan(x)/x + ∫( 1/x - x/(1 + x^2) )dx
= -arctan(x)/x + ∫1/x dx - ∫x/(1 + x^2) dx
令 t = 1 + x^2 代換
= -arctan(x)/x + log(x) - 1/2 log(1 + x^2) + C
-
也是可以寫成三角函數的算式（兩者一樣），如果你喜歡：
let y = arctan(x), then tan(y) = x and dx = sec^2(y)dy
∫arctan(x)/x^2 dx = ∫y/tan^2(y) sec^2(y) dy
= ∫y csc^2(y) dy u = y, dv = csc^2(y) dy
= y (-cot(y)) - ∫(-cot(y)) dy
= y (-cot(y)) + log|sin(y)| + C
___________
= -arctan(x)/x + log|1/√(1/x)^2 + 1| + C
cot(u)^2 + 1 = csc^2(u)
然而後面可能要注意一些正負號的問題就是。
※ 引述《Alcardia (嘻嘻)》之銘言：
: ∫tan^-1x/x^2dx不定積分為何？
: 小弟是使用分部積分的方式解
: 但是結果卻是恆等式
: 請問正確的解法為何？
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