推 jacky7987 :1. 不連續點只有0 零測度 所以黎曼可積 01/15 23:01
→ jacky7987 :然後我記得黎曼積分只考慮有界函數 01/15 23:02
→ jacky7987 :所以2的這個問題就我個人難以回答XD 01/15 23:03
→ iamwjy :我換個方式問2 01/15 23:04
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→ iamwjy :一樓的定理應該只是用於bounded函數吧？！ 01/15 23:17
→ iamwjy :例如 f(x)=1/根號x, x>0; f(0)=0 01/15 23:18
→ iamwjy :選P:0< 1/n < 2/n< ... < (n-1)/n <1;c_1 = 1/n^4 01/15 23:20
→ iamwjy :S(f;P) >= f(c_1)(1/n)=n 就發散了 01/15 23:20
推 jacky7987 :似乎有理 01/15 23:35
→ jacky7987 :那可能都得細心的挑選好的分割來做了嗚嗚 01/15 23:36
→ jacky7987 :2的那個問題 可是如果當你挑靠近unbdd的地方的涵數值 01/15 23:39
→ jacky7987 :本來就會越來越大 應該是辦得到 01/15 23:39
推 jacky7987 :然後問一下 那個partition可以選到他爆掉的點嘛? 01/15 23:47
→ iamwjy :理論上 當然會覺得做的到 但是就是因為我第一題 01/15 23:48
→ iamwjy :實在找不出來 才問的 01/15 23:49
推 jacky7987 :然後像是dirac measure那樣的(函數) 應該就不行 01/15 23:50
→ iamwjy :f(c_k) 總是函數值阿 沒有什麼爆掉的點 像第一題 01/15 23:51
→ iamwjy :f(0) 也有定義阿 01/15 23:51
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推 jacky7987 :所以在他等於無窮的地方我都重新定義一個有限值給他 01/15 23:52
→ iamwjy :是吧。 總之，f在[a,b]是有定義的實函數 01/15 23:54
→ yhliu :1. 既然是 unbounded, 只能考慮瑕積分, 除非是積分 01/16 00:03
→ yhliu :範圍遠離 0, 即 [a,b], a>0 或 b<0. 01/16 00:03
→ iamwjy :樓上請看括號裡頭的說明！ 01/16 00:03
→ yhliu :2. WLOG 假設 f(x) 只在 x→a+ 時無上界. 01/16 00:17
→ yhliu :對分割中第一個子區間 [x0,x1], x0=a. 令△1=x1-x0. 01/16 00:18
→ yhliu :因 f(x) 在 (a,x1] 無上界, 故存在 t1 使 01/16 00:19
→ yhliu :f(t1)>1/(△1)^2, 故 f(t1)△1>1/△1. 01/16 00:20
→ iamwjy :樓上這樣並不是WLOG，無法適用於1 01/16 08:02
→ yhliu :為例我不能只考慮在 x-->a+ 時無界? 01/16 12:32
→ yhliu :即使無界是發生在 (a,b) 中間的點 c, 把 c 點都列入 01/16 12:33
→ yhliu :分割, 有何不可? 敘述中並不是要 "對任意分割序列", 01/16 12:34
→ yhliu :而是只要 "存在一個分割序列". 01/16 12:35
→ yhliu :就你的 "1." 而言, 在 (1,1+△) 或 (1-△,1) 找不到 01/16 12:37
→ yhliu :如我前面說的 t 點嗎? 01/16 12:37
→ yhliu :就算 f(x) 不是上方無界而是下方無界, 也不過是變個 01/16 12:39
→ yhliu :方向, 取 f(t) 小於所需的值而已. 01/16 12:39
→ iamwjy :這樣是可以f(t1)△1>1/△1，但是加上其他項的時候， 01/16 23:26
→ iamwjy :也許其他項有接近附無窮大的項，這樣加起來就有可能 01/16 23:26
→ iamwjy :有限。 01/16 23:27
→ iamwjy :所以說要一起處理 不能一項一項處理 01/16 23:27
→ iamwjy :但反正就看下面的回文吧 那個證明很乾淨 01/16 23:27
→ yhliu :是你看不懂. 在分割的其他子區間取點後總和是有限的. 01/17 14:31
→ yhliu :我只是在奇異點那個子區間取點使 f(t)△ 可以任意大 01/17 14:32
→ yhliu :(或負的任意大,即任意小). 如果這樣還看不懂就算了! 01/17 14:33
→ yhliu :事實上以 upper sum 與 lower sum 來看的話, 就很清 01/17 14:34
→ yhliu :楚了! 如果在一點附近無上界, 則 upper sum 是 +∞; 01/17 14:35
→ yhliu :如果在一點附近無下界, 則 lower sum 是 -∞. 01/17 14:36
→ yhliu :在 upper sum 是 +∞ 的情況, 當然可取黎曼和序列發 01/17 14:37
→ yhliu :散至 +∞; 而在 lower sum 是 -∞ 的情況, 則可取黎 01/17 14:37
→ yhliu :曼和序列發散至 -∞. 01/17 14:38
→ iamwjy :你說的對！我懂了！抱歉！ 01/18 08:41