→ iamwjy :我也是覺得結果是這樣，但一直弄不出來！ 01/16 08:03
→ iamwjy :原來是要整個一起處理，厲害！感謝！ 01/16 08:04
推 ckp4131025 :是Z大!! 01/21 22:08
→ ckp4131025 :Z大真的好可愛 01/21 22:09
※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之銘言：
: 1. f(x) = (1/x)cos(1/x^2), x ≠0
: f(0) = 0
: 請問 f 在 [0,1] 上是否黎曼可積？
: （原本黎曼可積是要求 bounded function，但這邊的意思是
: 如果對所有partition，和選取點，只要 partition 的 norm 趨近於0，
: 這些黎曼和都會趨近於一個定值的話，就算是黎曼可積，不需要 bounded）
: 是與否都請用黎曼和去處理，謝謝！
我認為如果f在[a,b]無界，則對於你括號內的定義，都不會成立！
也就是說，當時只考慮有界函數，可能就是因為這個理由，才會用極限的方式定義瑕積分
P.S. 我稱符合括號內敘述的函數叫作黎曼可積
<Lemma> 若f定義在[a,b], a<c<b
則sup{f(x)+f(y)：x€[a,c],y€[c,b]}
=sup{f(x)：x€[a,c]} + sup{f(x)：x€[c,b]}
試證：若f在[a,b]無界，則f不黎曼可積
證明：假設f黎曼可積，則存在一個實數L使得
任給ε>0,存在一個δ>0,使得所有在[a,b]間的分割P={x_0=a<x_1<...<x_n=b}
n
║P║<δ,則│Σf(t_i)(x_i-x_(i-1))-L│<ε, 對所有t_i€[x_(i-1),x_i]都對
i=1
給ε=1,取一個符合的P後,對不等式同取sup與inf，我們會發現
n
sup{Σf(t_i)(x_i-x_(i-1))：t_i€[x_(i-1),x_i],i=1~n} 有限
i=1
by Lemma, 我們就有
sup{f(t_i)(x_i-x_(i-1))：t_i€[x_(i-1),x_i]}, for each i
所以f在每個[x_(i-1),x_i]有上界，因此f在[a,b]有上界
inf同理，因此f在[a,b]有下界，矛盾
: 2. 一個 在區間[a,b]上 unbounded 但瑕積分存在 的函數
: 是否一定找的到一個 partition 的數列 P_n，和相對應選取的點c_k，
: 其中 |P_n|→0 當 n→∞，
: 使得黎曼和發散 當 n→∞？
: 其實根據這篇文章
: http://www.docin.com/p-407594177.html
: 應該就是都會"不可積"，但是我想知道找Partition的細節，所以才問的，
: 麻煩各位高手了！！
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◆ From: 1.171.19.226
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.19.226 (01/16 00:34)