作者harveyhs (Hango)
看板Math
標題Re: [線代] 對稱矩陣特徵向量
時間Wed Jan 16 16:52:32 2013
※ 引述《AQmike (AQ)》之銘言：
: 請問為何對稱矩陣的特徵向量都是正交的呢？
: 謝謝～
通常這件事情會先強調eigenvalue nondegenerate
以下是物理式的討論ˊ_ˋa
假設這邊討論的都是實數， |x〉這是一個column vector
〈x|這是一個row vector
設|n〉是一個eigenvector eigenvalue 是 E_n
〈n'|An〉= E_n 〈n'|n〉
T
=〈A n'|n〉= E_n'〈n'|n〉
(E_n'- E_n)〈n'|n〉= 0
所以〈n'|n〉= 0
如果有degenerate的情況，一般相信用Gram-Schmidt 可以組出基底
如果是complex，則要考慮 Hermitian
可以先證明 eigenvalue real再證明正交。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.25.105
如果complex，用 + 代表Hermitian conjugate ， *代表complex conjugate
〈n|An〉= E_n〈n|n〉
+ [ + ]* * *
=〈A n|n〉=[〈n|A n〉] = 〈n|An〉 = E_n 〈n|n〉
[ ]
所以eigenvalue real
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.25.105 (01/16 16:58)
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.25.105 (01/16 17:01)
推 kindamark : 01/16 18:50
推 AQmike :謝謝～～ 01/16 23:53
推 microball :就算是有degenerate，有定理保證可以找出正交基底 01/17 05:26
→ microball :"spectral theorem for normal matrix" 01/17 05:27
→ microball :簡單的說，只要滿足 MM* = M*M 的矩陣 01/17 05:28
→ microball :都是 unitarily diagonalizable 的 01/17 05:29
沒錯，謝謝補充！
※ 編輯: harveyhs 來自: 140.112.25.105 (01/17 13:17)