作者obelisk0114 (追風箏的孩子)
看板Math
標題Re: [微積] 有虛數的有限項級數
時間Thu Jan 17 01:59:55 2013
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
: 若n為正整數,且i^2=-1 w=exp(2πi/n)
: n-1
: (a)Σ w^k
: k=0
: n-1
: (b)Σ w^(2*k)
: k=0
: n-1
: (c)Σ w^(3*k)
: k=0
: 1-exp(2πi) 1-exp(4πi) 1-exp(6πi/n)
: 這三題我算完分別是-------------- ------------- ---------------
: 1-exp(2πi/n) 1-exp(4πi/n) 1-exp(6πi/n)
: 請問這還能化簡嗎?
: 我有試過用尤拉公式,可是答案更奇怪= =
exp(2πi) = exp(4πi) = exp(6πi) = 1
不過下面提供另一個解法
(a) = (b) = (c)
2πi i(2*kπ)
------ ----------
n n
(e )^k = e , k = 0 ~ n-1
可以看成是一個 n次方程式的所有解
長度是1,主幅角0度
n
所以(a) : w = 1 所有解的和
n n n-1
移項得 w -1 = 0 = (w-w1)(w-w2)...(w-wn) = w -(w1 + w2 +...+ wn)*w ...
w1,w2...wn 是所有解,所以在 n > 1的情況下,和為0,n = 1則為1
n
---
2
(b) 可以將 2次方換到分母而變成 w = 1,所以在 n > 2的情況下,和為0
n = 1,2則為1
n
---
3
(c) → w = 1,所以在 n≠1和3的情況下,和為0
n = 1,3則為1
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肝不好 ▁▁ ● ◤
肝若好
人生是黑白的 ▏ ◤
考卷是空白的
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、 ﹐
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幹...
▲ ■┘ ■ ▎ ■ █◤ ▌ ㄏ▋ ︶■
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ψcockroach727
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◆ From: 140.112.245.27
→ nonumber :要分段 (b)n=1,2,4都不是0 (c)n=3也不是 01/17 02:13
前面考慮不周,修一下,但是
(b) n = 4
w = exp(πi/2),級數 = w^(2 * k) = exp(kπi)
k = 0 ~ 3,所以1 + cosπ + cos(2π) + cos(3π) = 0
應該沒錯吧
※ 編輯: obelisk0114 來自: 140.112.245.27 (01/17 02:59)
推 tokyo291 :不好意思~我想請問前面的部分這樣子不會發生0/0的情 01/17 11:28
→ tokyo291 :況嗎? 01/17 11:28
→ nonumber :恩算錯了 sor 01/17 12:55
→ obelisk0114 :為什麼會有0/0? 01/17 14:46
→ obelisk0114 :是直接用等比級數算的嗎? 01/17 14:47
→ tokyo291 :沒錯我是用等比級數算,答案會跑出0/0 01/17 15:12
1-exp(2πi/n)只有在 exp(2πi/n) = 1時,也就是 cos(2π/n) = 1為0
cos函數只有在 2kπ時才會為1,k為整數
cos(2π/n)只有 n = 1才會為1
1-exp(4πi/n) 同理,在 n = 1,2才會為0
1-exp(6πi/n) 在 n = 1,3才會為0
從等比級數當初的推導來看,n = 1就是只有首項,所以會出現恆等式
(b)在 n = 2的情況則是因為公比是1,所以也會變成恆等式
(c)是在 n = 3時,公比是1
※ 編輯: obelisk0114 來自: 140.112.245.27 (01/19 01:59)
推 tokyo291 :原來如此!我都忽略了不同狀況的值 謝謝! 01/22 00:56