※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之銘言：
: 標題: [微積] 黎曼可積兩個問題
: 時間: Tue Jan 15 22:58:24 2013
:
: 1. f(x) = (1/x)cos(1/x^2), x ≠0
:
: f(0) = 0
:
: 請問 f 在 [0,1] 上是否黎曼可積？
:
: （原本黎曼可積是要求 bounded function，但這邊的意思是
:
: 如果對所有partition，和選取點，只要 partition 的 norm 趨近於0，
:
: 這些黎曼和都會趨近於一個定值的話，就算是黎曼可積，不需要 bounded）
:
: 是與否都請用黎曼和去處理，謝謝！
:
:
:
: 2. 一個 在區間[a,b]上 unbounded 但瑕積分存在 的函數
:
: 是否一定找的到一個 partition 的數列 P_n，和相對應選取的點c_k，
:
: 其中 |P_n|→0 當 n→∞，
:
: 使得黎曼和發散 當 n→∞？
:
:
: 其實根據這篇文章
:
: http://www.docin.com/p-407594177.html
:
: 應該就是都會"不可積"，但是我想知道找Partition的細節，所以才問的，
:
: 麻煩各位高手了！！
:
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 140.116.191.200
: 推 jacky7987 :1. 不連續點只有0 零測度 所以黎曼可積 01/15 23:01
: → jacky7987 :然後我記得黎曼積分只考慮有界函數 01/15 23:02
: → jacky7987 :所以2的這個問題就我個人難以回答XD 01/15 23:03
: → iamwjy :我換個方式問2 01/15 23:04
: ※ 編輯: iamwjy 來自: 140.116.191.200 (01/15 23:07)
: ※ 編輯: iamwjy 來自: 140.116.191.200 (01/15 23:16)
: → iamwjy :一樓的定理應該只是用於bounded函數吧？！ 01/15 23:17
: → iamwjy :例如 f(x)=1/根號x, x>0; f(0)=0 01/15 23:18
: → iamwjy :選P:0< 1/n < 2/n< ... < (n-1)/n <1;c_1 = 1/n^4 01/15 23:20
: → iamwjy :S(f;P) >= f(c_1)(1/n)=n 就發散了 01/15 23:20
: 推 jacky7987 :似乎有理 01/15 23:35
: → jacky7987 :那可能都得細心的挑選好的分割來做了嗚嗚 01/15 23:36
: → jacky7987 :2的那個問題 可是如果當你挑靠近unbdd的地方的涵數值 01/15 23:39
: → jacky7987 :本來就會越來越大 應該是辦得到 01/15 23:39
: 推 jacky7987 :然後問一下 那個partition可以選到他爆掉的點嘛? 01/15 23:47
: → iamwjy :理論上 當然會覺得做的到 但是就是因為我第一題 01/15 23:48
: → iamwjy :實在找不出來 才問的 01/15 23:49
: 推 jacky7987 :然後像是dirac measure那樣的(函數) 應該就不行 01/15 23:50
: → iamwjy :f(c_k) 總是函數值阿 沒有什麼爆掉的點 像第一題 01/15 23:51
: → iamwjy :f(0) 也有定義阿 01/15 23:51
: ※ 編輯: iamwjy 來自: 140.116.191.200 (01/15 23:53)
: 推 jacky7987 :所以在他等於無窮的地方我都重新定義一個有限值給他 01/15 23:52
: → iamwjy :是吧。 總之，f在[a,b]是有定義的實函數 01/15 23:54
: → yhliu :1. 既然是 unbounded, 只能考慮瑕積分, 除非是積分 01/16 00:03
: → yhliu :範圍遠離 0, 即 [a,b], a>0 或 b<0. 01/16 00:03
: → iamwjy :樓上請看括號裡頭的說明！ 01/16 00:03
: → yhliu :2. WLOG 假設 f(x) 只在 x→a+ 時無上界. 01/16 00:17
: → yhliu :對分割中第一個子區間 [x0,x1], x0=a. 令△1=x1-x0. 01/16 00:18
: → yhliu :因 f(x) 在 (a,x1] 無上界, 故存在 t1 使 01/16 00:19
: → yhliu :f(t1)>1/(△1)^2, 故 f(t1)△1>1/△1. 01/16 00:20
: → iamwjy :樓上這樣並不是WLOG，無法適用於1 01/16 08:02
: → yhliu :為例我不能只考慮在 x-->a+ 時無界? 01/16 12:32
: → yhliu :即使無界是發生在 (a,b) 中間的點 c, 把 c 點都列入 01/16 12:33
: → yhliu :分割, 有何不可? 敘述中並不是要 "對任意分割序列", 01/16 12:34
: → yhliu :而是只要 "存在一個分割序列". 01/16 12:35
: → yhliu :就你的 "1." 而言, 在 (1,1+△) 或 (1-△,1) 找不到 01/16 12:37
: → yhliu :如我前面說的 t 點嗎? 01/16 12:37
: → yhliu :就算 f(x) 不是上方無界而是下方無界, 也不過是變個 01/16 12:39
: → yhliu :方向, 取 f(t) 小於所需的值而已. 01/16 12:39
: → iamwjy :這樣是可以f(t1)△1>1/△1，但是加上其他項的時候， 01/16 23:26
: → iamwjy :也許其他項有接近附無窮大的項，這樣加起來就有可能 01/16 23:26
: → iamwjy :有限。 01/16 23:27
: → iamwjy :所以說要一起處理 不能一項一項處理 01/16 23:27
: → iamwjy :但反正就看下面的回文吧 那個證明很乾淨 01/16 23:27
1.只要有一個子區間會爆掉即可
若有一個子區間爆在 +oo，一個子區間爆在 -oo
那就爆在 -oo 的那個區間先取函數值 f(x_i)
爆在 +oo 的那個區間的函數值 f (x_j) 再見招拆招
如果說 f(x_i)△_i = -10000
那就讓 f(x_j)△_j > 20000
如果還不夠就大於 200000
反正 f(x_j) 要多大有多大
最後總可以使黎曼和大於 1
2.同樣的想法，對於任何一個分割 P
若在其中某個子區間 [c,d] 爆掉 (+oo)
則其他子區間不管有沒有爆掉都先取函數值
最後可以由控制 [c,d] 區間的函數值
讓黎曼和要多大有多大
同理若 f(x) 也沒有下界，對任一分割
也可以讓黎曼和要負多大就負多大
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.39.171.242