[線代]矩陣的invertible

[linshihhua (linshihhua)]

令 A 是 n*n 階的複數矩陣

則 A 是 invertible 的定義是

存在 n*n 階的複數矩陣 B

使得 AB=BA=I

我們可以進一步推出 B 是唯一的

於是將 B 定成 A^-1

假如我把 A 是 invertible 的定義改寫成

存在 B 使得 AB=I (或是 BA=I)

想請問是否有辦法證明下面兩件事?

1. BA=I (或是 AB=I)

2. B 是唯一的



另外想問一下 Golden-Thompson inequality 是說

如果 A B 是 self-adjoint matrices

則 trace(e^(A+B))≦trace((e^A)(e^B))

可是我看到有一個寫法是

如果 A B C 是 self-adjoint matrices

                      ∞
則 trace(e^(A+B+C))≦∫ trace([(tI+e^C)^-1][e^B][(tI+e^C)^-1]) dt
                      0

想請問該如何去證明這不等式

以及有哪本書有討論到這種

矩陣的 trace 以及 determine 等等

矩陣函數的微分和積分以及歛散性的問題

非常非常感謝大家的幫忙









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       ●                       ●                  李ㄆㄧㄚˋ眉頭一皺!
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◆ From: 140.128.127.71
→ willydp     :1. 若有B使得AB=1, 則A:V->V是injective=>surjective
→ willydp     :因此A是個isomorphism, 所以也有right inverse
→ willydp     :有left inverse和right inverse => 兩個inverse相同
推 herstein    :Tao的blog好像有證明
推 keroro321   :1. 你也可看看sfly 大的證明,板上的10991
→ linshihhua  :非常感謝