Re: [幾何]manifold的座標轉換

[herstein (翔爸)]

※ 引述《linshihhua (linshihhua)》之銘言：
: differentiable manifold 上的 differentiable structure 要求
: 任兩個 local chart (U1,X1), (U2,X2) 若 U1∩U2 不為空集合
: 則座標轉換 X1。X2^-1 以及 X2。X1^-1 要屬於 C^∞
: 想請問是否可以利用反函數定理
: 來得到座標轉換的 Jacobian 的行列式一定不為 0 ?
其實不是用反函數定理啦。假設f=X1。X2^-1, g=X2。X1^-1
位了方便起見我們令f與g的定義域分別V1, V_2

所以f:V_1-> V_2, g:V_2-> V_1因此 (gf)=id_V_1。利用微分連鎖律

   dg df =id, dg df=id,

其中id記為恆等映射，而df:R^n-> R^n (反正你就任取V_1上的點把T_p R^n看成R^n)
所以取行列式之後det(dg)det(df)=1=> det df不為零。而det df就是 Jacobian行列式。

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◆ From: 132.64.26.132
推 linshihhua  :大概了解 但還是想知道是否可以由反函數定理
→ linshihhua  :直接得知det不為0  非常感謝解答
推 linshihhua  :或是我該先問若f:R^n-R^n在一包含a點的open ball上
→ linshihhua  :是1-1且可微則是否可以推得det df不為0
→ linshihhua  :若是的話可否借由這個結果得出manifold的座標變換
→ linshihhua  :的jacobian的行列式不為0
你的這問題有點奇怪，因為反函數定理是先確定det df_a不等於零，
才知道存在a點的neighborhood U使得f在f:U-> f(U)是微分同胚。
跟函數本身是不是1-1無關。如果函數本身是微分同胚，Jacobian不為零
的證明就是我給出的。

※ 編輯: herstein        來自: 79.183.111.244       (01/18 04:48)
→ willydp     :純粹回答後面的問題:錯. f(x)=x^3,df(0) = 0
推 keroro321   :不過有些好函數就有如此的性質像 U:open set in C
→ keroro321   :f:U->C holomorphic,f:1-1 then f'(z) =/= 0
這是因為複空間的結構跟實空間的不同
複微分跟實微分是不同的概念
※ 編輯: herstein        來自: 79.180.49.244        (01/18 16:06)
推 linshihhua  :看來還是要加上f|_U是微分同胚的條件 感謝解惑
→ sneak       : 1-1 then f' https://noxiv.com
→ sneak       : 是1-1且可微則是否可 https://daxiv.com
→ sneak       : 1-1 then f' https://muxiv.com
→ sneak       : 錯. f(x)=x^3 https://daxiv.com
→ muxiv       : open set in http://yofuk.com