推 cyberlancer :感謝wayn2008和tzhau兩位 01/24 21:14
※ 引述《cyberlancer (Cyber)》之銘言：
: http://i.imgur.com/vJQOQ2g.png
: 如圖，連續五個圓A、圓B、圓C、圓D、圓E外切
: 已知圓A的半徑9，圓E半徑16，求圓C的半徑？
: 解答是利用比求得的，設圓C半徑x，
: 9：x＝x：16
: x^2＝9×16＝144
: x＝12
: 為何成比例是我想不通之處
: 手上有的性質是外切則
: 連心線長＝半徑和
: 外公切線長＝2√(半徑積)
: 但中間隔了B、D兩圓無從下手
: 可能是很簡單的細節沒注意到
: 求教各位了
證ABC等比 其他就類推了
設圓A、圓B、圓C半徑分別為r1,r2和r3，K點到圓A最近的距離為h
則 (h+r1)/r1 = (h+2r1+r2)/r2 = (h+2r1+2r2+r3)/r3
=> h/r1 = (h+2r1)/r2 = (h+2r1+2r2)/r3
由h/r1 = (h+2r1)/r2 化簡得 r2h=r1h+2r1^2 =>h(r2-r1)=2r1^2-------(1)
h/r1 = (h+2r1+2r2)/r3 化簡得 r3h=r1h+2r1^2+2r1r2 =>h(r3-r1)=2r1^2+2r1r2--(2)
兩式相除化簡可得r2^2=r1r3 故圓A、圓B、圓C半徑成等比
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又想到快一點的方法
設圓A、圓B、圓C半徑分別為r1,r2和r3
過A做平行FH的直線 再從B和C做垂直下來交此直線於P點和Q點
則得ABP和BCQ兩三角形相似
故AB/BP=BC/CQ => (r1+r2)/(r2-r1)=(r2+r3)/(r3-r2)
化簡可得r2^2=r1r3 故圓A、圓B、圓C半徑成等比
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