[微積] 積分 ∫sinx‧cos^3x dx

[anovachen (囧)]

這是某教材球面座標積分的題目中部份算式，
目前只卡在這邊有點解不出來。

         2π  π/4            ρ=cosθ
(略)...=∫dθ∫sinψ[(ρ^3)/3]     dρ
         0    0               ρ=0
       π/4                                  π/4
=2π/3∫sinψcos^3ψ dψ = 2π/3[-cos^4ψ/4]
       0                                     0
對於這行算式甚感困惑，
因為我用變數代換的方式：
∫sinxcos^3x dx
=∫sinx(1-sin^2x)cosx dx
=∫(sinx-sin^3x)cosx dx
令u=sinx
du=cosx dx
原式=∫(u-u^3)du
=(1/2)sin^2x - (1/4)sin^4x + C
為什麼我解出來不是-cos^4x/4 + C呢？

Thanks in advance!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 36.237.106.76
→ suhorng     :這兩個只差常數 的代換是令 t = cos(x)
推 herstein    :一樣的...差別只是一個常數
→ suhorng     :1/2 sin^2(x) - 1/4 sin^4(x) = -1/4 cos^4(x) + 1/4
→ a88241050   :話說2個不同答案只差常數項的問題在這板屢見不鮮...
→ anovachen   :囧rz 原來是這樣...