Re: [線代] 空間中體積

[willydp (willyliu)]

※ 引述《IAPIG (我一直是個幸運兒)》之銘言：
: 我是看到台大考古題
: Calculate the volume of the parallelepiped:
:     p={ax+by+rz | a,b,c belones to [0,1] }
: spanned by x=(2,0,1,1,0) y=(0,0,2,1,2) z=(1,1,1,1,1)
: in the 5-dimensional real Euclidean space.
: 除了想請教各位大大怎麼計算之外，也希望知道背後的原理是什麼?
: 謝謝各位了 :)

如果你相信Gram-Schmidt不影響體積的話

假設S = (v_1 v_2 ... v_k)是k個vector在R^n中

令M_{ij} = (<v_i,v_j>), M是一個k by k matrix

Gram-Schmidt每一步都是

v_i <-  v_i - <v_i, v_j>v_j/<v_j, v_j>

這個過程不影響M的determinant, 因為只是列運算+行運算

最後得到orthogonal basis, 假設叫做{e_1, ..., e_k}

這麼一來, det M = (|e_1| |e_2| ... |e_k|)^2

因此 sqrt{det M} 是答案, 計算的時候不需要Gram-Schmidt



註: 上述論證只有在確定Gram-Schmidt不影響體積的前提下.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 36.225.1.105
推 IAPIG       :w大，這點正是我下個想問的問題，就是體積會不變嗎？
→ IAPIG       :除了這樣的解法，還有其它的想法嗎？那如果題目是空
→ IAPIG       :間的六個不同的平面交出的六面題題積該怎麼算呢？有
→ IAPIG       :解法背後的原理嗎？
→ willydp     :我不知道有沒有簡單的講法 體積的概念本身就不好定
→ willydp     :要很精確的訂出體積 就要講到measure
→ willydp     :然後要談到Fubini's theorem關於積分的交換
→ willydp     :可以想像成, 平行四邊形若高和底相同, 面積就相同
推 IAPIG       :謝謝，我來研究一下~ :)