[微積] ∫x^(t-1)exp(-x/n)dx=n^tΓ(t)如何證明?

[anovachen (囧)]

某統計課本上看到的式子：
 ∞                   ∞
∫cx^2exp(-cx) dx = c∫x^(3-1)exp(-x/(1/c)) dx = [c(1/c)^3]Γ(3)
 0                    0
我從這行算式歸納出這條規則
 ∞
∫x^(t-1)exp(-x/n) dx = (n^t)Γ(t)
 0
這式子正確嗎？
要如何證明？
謝謝！
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證：
令u=x/n → x=nu, du=(1/n) dx
 ∞                      ∞                             ∞
∫x^(t-1)exp(-x/n) dx = ∫(nu)^(t-1)exp(-u)n du = (n^t)∫u^(t-1)exp(-u) du
 0                       0                              0
=(n^t)Γ(t)
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◆ From: 36.237.106.76
推 profyang    :把x/n當成新的積分變數...
感謝回答!!
※ 編輯: anovachen       來自: 36.237.106.76        (01/29 23:54)