推 ntme :謝謝S大 01/30 00:24
※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.47.38 (01/30 11:25)
※ 引述《ntme (ntme)》之銘言：
: Q1
: ∫∫ 1dA = ∫∫ 1dxdy
: 如果A 是在第一，三象限的正方形，積出來的答案為正？？
: 二，四 負??
不太懂你想問的問題
這種時候翻課本的定義最好
(假設 Q 是 |R^2 中一個 [a, b] ×[c, d], a≦b, c≦d 的矩形)
∫∫f(x, y)dA
Q
例如說, 若存在數字 I∈|R 使得對隨便給定的誤差ε, 都存在 Q 的 partition, P_ε
(在 |R^2 的情形, 也就是 dA, P_ε 就是把 Q 用一堆直線跟橫線切成的小矩形的集合)
使得只要 P 切的比 P_ε更細, 有
|S(P, f) - I| < ε
則定義 ∫∫f(x, y)dA = I
Q
直觀上就是能把 Q 剖成很多小矩形, 然後每個矩形中都取樣, 加總起來做近似.
照定義看, ∫∫dA 永遠非負, 與象限完全無關
Q
b d
然後後面轉換成 ∫∫f(x,y)dydx 的部份, 這是由 Fubini 定理告訴你在 f 夠好時,
a c
b d d b
∫∫f(x,y)dA = ∫∫f(x,y) dydx = ∫∫f(x,y) dxdy
Q a c c a
也就是此時這個二重積分會等於後面的迭代積分. 也有迭代積分存在但二重機分不存在
的例子, 若 f 不夠好. 這是為什麼你看到範圍小的放下面大的放上面, 就這個定理來的.
如果我們選的區域 D 不是像 Q 這麼好的矩形呢？我們把 f(x,y) 延伸到一個矩形上,
叫 g(x,y), 並且定 g(x,y) = if (x,y)∈D then f(x,y) else 0
然後若 g 在 Q 上的積分存在, 就定義 f 在 D 上的積分是它.
能的話一樣再用 Fubini 定理. 所以沒有什麼正的負的問題.
積分的值就是那個值, 能的話就可以用迭代積分, 定理告訴你怎麼寫上下限.
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