作者JohnMash (Paul)
看板Math
標題Re: [中學] 102學測數學多選11,12
時間Wed Jan 30 11:15:57 2013
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
※ 引述《weilai81241 (Hungry Bird)》之銘言：
: http://mag.udn.com/html/campus/e102/e102_02a.pdf
: 整份考卷就這兩題完全不知道該如何下手...
: 請版上各位大大幫忙了...
Problem 11
Consider ellipse E : x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 and a^2-b^2=c^2
Point F1 : (c,0)
Consider the graph of ellipse E above x-axis, E_+
Let an arbitrary point P on E_+.
Denote d(F1,P) the distance between F1 and P.
Then d(F1,P) is strictly increasing function for P from (a,0) to (-a,0).
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
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簡單證明一下 嚴格遞增 這回事
首先證明 P 在 (a,0) 到 (0,b) 的範圍內 d(F1,P) 是嚴格遞增
如若不然 則存在相異點 Q,R 使得 d(F1,Q)=d(F1,R)
又因為 △F1 F2 Q 和 △F1 F2 R 周長相等
故得到 △F1 F2 Q 和 △F1 F2 R 全等
但兩三角形的面積卻不等(等底不等高)因而矛盾
又因為 F1+F2 是常數
故可得 P 在 (a,0) 到 (-a,0) 的範圍內 d(F1,P) 是嚴格遞增
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However, for the four points Q1,Q2,Q3,Q4, on a square with center F1,
we have d(F1,Q1)=d(F1,Q2)=d(F1,Q3)=d(F1,Q4)
hence, we have only one of {Qi} to take above the x-axis.
For example, you take Q1, then the only other possible point is
below the x-axis.
But this line segment constructed from the points
must be parallel to the axis, and then leads to a contradiction.
Hence, the correct answer is no point or one point only.
(我認為正確答案僅有1,5兩個選項)
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Problem 12
Plot an arithmetic sequence for b_n.
They are all on a line B and y-intercept positive
Plot a geometric sequence for a_n.
It is an oscillating and convergent curve A.
a_9 and a_{10} must be one point above x-axis and the other below x-axis.
You can easily see from the graph
that line B must have negative common difference
because of its positive y-intercept.
However, because curve A is convergent,
we can have a_8 > b_8 or a_8 < b_8 or a_8 = b_8
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◆ From: 27.147.57.77
推 holgaga :第11題 題目是說"可不與"對稱軸平行 01/28 01:31
→ holgaga :另外若以F1之正焦弦作為一對角線 也是2頂點在橢圓上 01/28 01:33
→ holgaga :所以其實會有兩種情形都是2頂點喔(加上對稱軸平行的) 01/28 01:33
→ Malkuth :11題你說他是嚴格遞增是因為你只單看上(下)半平面吧 01/28 01:35
→ holgaga :一個在x軸上另一個在x軸下 邊也不一定會平行對稱軸 01/28 01:36
→ holgaga :我第2行推文就是一個反例 01/28 01:37
言之有理 題目看錯
本題關鍵是 嚴格遞增
然後別看錯題目 就成了
※ 編輯: JohnMash 來自: 27.147.57.77 (01/28 01:50)
推 adadadadad :英文好強喔 01/28 01:57
→ StoneColdLee:數學系學生寫證明幾乎都是這樣的英文 好懷念!! 01/28 02:01
推 whereian :第11題出乎意料的簡單，其實五個字就可以道盡一切了 01/28 02:47
→ whereian :不需要用到數學系的任何證明技巧，社會組學生就會了 01/28 02:49
→ whereian :我說錯了，應該是三個字，呵呵~~ 01/28 02:51
推 whereian :不知道有沒有人同意我的說法？三個英文字解決第11題 01/28 02:54
推 holgaga :"畫畫看"? 01/28 02:55
→ holgaga :英文喔....try try see XDDDDD 01/28 02:56
→ whereian :呵呵，畫都不用畫 一切盡在不言中，ㄎㄎ.... 01/28 02:56
推 holgaga :連畫都不用畫!!! 真好奇 01/28 03:00
推 whereian :我說的是三個英文字母，不是單字喔，XDDDD 01/28 03:02
→ whereian :其實中文的關鍵字也是三個字，這題真的是三字題阿 01/28 03:03
推 holgaga :想不出來 還望高手指點XD 01/28 03:19
推 wayn2008 :可以在F1的焦點上畫圓(圓內接正方形) 然後最多跟橢圓 01/28 03:22
→ wayn2008 :最多有兩個交點 代表正方形最多最多就兩個交點 01/28 03:23
→ wayn2008 :應該說圓可以幫助畫正方形 看圖就不難發現兩個點了 01/28 03:51
推 Lemur :橢圓若兩焦點重合為圓 正方形壓扁為菱形矩形 可0,2,4 01/28 04:50
→ Lemur :1點的情況很好畫(超扁橢圓的焦點很近端點) 01/28 04:51
→ Lemur :因為正方形內,等腰直角三角形斜邊中點是焦點 所以 01/28 04:57
→ Lemur :方形一旋轉,因普通橢弦中點不可能是焦點,故3點不可能 01/28 05:03
推 diego99 :三個字是「對角線」 01/28 07:54
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新梗題 good question
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◆ From: 27.147.57.77
※ 編輯: JohnMash 來自: 27.147.57.77 (01/30 14:20)