作者holgaga (Ice)
看板Math
標題Re: [分析] 一題級數展開
時間Wed Jan 30 20:53:20 2013
※ 引述《tiger790815 (獅子)》之銘言：
: 大家好
: 我在念物理數學時在碰到了下面的問題
: 推導Riemann Zeta function ζ(2n)之值時
: 2n
: ∞ n (2 x)
: 其中有一步驟是將: x cot(x) 展開成 Σ (-1) B ---------
: n=0 2n (2 n)!
: ( 其中 B 是Bernoulli numbers)
: 2n
: 2
: ∞ x
: 課本上是寫說利用 sin x = x Π (1 - -------)
: n=1 2 2
: n π
不好意思，想藉這一題問一個問題
上面那個sin(x)寫成連乘的式子
我知道是利用因式定理
又因為sin(nπ)=0
所以sin(x)可以寫成 a(x-0)(x+π)(x-π)...(x+nπ)(x-nπ)...
再利用平方差 sin(x)=ax(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...
但是我忘記要怎麼求那個未定係數a了
我有想過把x代一個值(代π/2之類的)
但不知道代哪個數字比較方便求出a
想請高手指點
另外還請問這個把sin(x)寫成連乘的式子我應該google甚麼關鍵字呢?
sorry因為這是很久以前學到的東西了
印象只到這邊...
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自問自答:
sin(x)=ax(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...
sin(x)/x=a(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...
lim[sin(x)/x]=lim[a(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...]
x->0 x->0
cos(0)=a(-π^2)(-(2π)^2)...(-(nπ)^2)...
a=1/[(-π^2)(-(2π)^2)...(-(nπ)^2)...]
帶回原式就能得到上面看到的sin(x)無限連乘展開
: ∞ ∞ x 2m
: 可將 x cot(x)表示成 1 - 2 Σ Σ (-----)
: m=1n=1 nπ
: --------------------
: ^
: |
: 我算了很久都沒有辦法得到
: 不知道有沒有什麼關鍵的步驟 ?
: 謝謝
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◆ From: 1.162.58.107
※ 編輯: holgaga 來自: 1.162.58.107 (01/30 20:53)
→ holgaga :感謝herstein 我已經搞懂了~ 01/30 21:50
※ 編輯: holgaga 來自: 1.162.58.107 (01/30 21:58)
推 suhorng :為什麼我覺得有什麼誤會... 01/30 22:14
→ suhorng :好吧 反正最後乘進去是對的 (?) 01/30 22:21
→ holgaga :啊 其實這是我看了herstein給我的網址 用我自己的想 01/30 22:30
→ holgaga :法去思考我原本的想法該怎麼往下做XD 01/30 22:31
→ holgaga :但我這樣做 "誤會"是不是指a其實是個不收斂的值? 01/30 22:32
→ suhorng :原PO那篇寫的 Π(1 - x^2/(nπ)^2) 有原因的 01/30 22:36
→ suhorng :Π(x - (nπ)^2) 對任何 x 都不收斂 01/30 22:36
推 tiger790815 :infinite product expansion可以利用residue theorem 01/30 22:40
→ tiger790815 :來得到 01/30 22:40
→ holgaga :嗯嗯有我剛剛有看到那一段XDDD 01/30 22:42