Re: [分析] 一題級數展開 (已解決)

作者holgaga (Ice)

看板Math

標題Re: [分析] 一題級數展開 (已解決)

時間Wed Jan 30 22:55:05 2013

: : 2 : : ∞ x : : 課本上是寫說利用 sin x = x Π (1 - -------) : : n=1 2 2 : : n π : 不好意思，想藉這一題問一個問題 : 上面那個sin(x)寫成連乘的式子 : 我知道是利用因式定理 : 又因為sin(nπ)=0 : 所以sin(x)可以寫成 a(x-0)(x+π)(x-π)...(x+nπ)(x-nπ)... : 再利用平方差 sin(x)=ax(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)... : 但是我忘記要怎麼求那個未定係數a了 : 我有想過把x代一個值(代π/2之類的) : 但不知道代哪個數字比較方便求出a : 想請高手指點 : 另外還請問這個把sin(x)寫成連乘的式子我應該google甚麼關鍵字呢? : sorry因為這是很久以前學到的東西了 : 印象只到這邊... 因為上一篇那個方法，過程有點瑕疵我修正了一下，想問問看這樣行不行 sin(x)=0 的根有0,π,-π,2π,-2π... 可得知sin(x)/x=0的根有π,-π,2π,-2π... 根據因式定理 sin(x)/x=a(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)... =a[1-(x/π)^2][1-(x/2π)^2]... lim[sin(x)/x]=lim{a[1-(x/π)^2][1-(x/2π)^2]...} x->0 x->0 cos(0)=a(1-0)(1-0)... a=1 ∞ sin(x)/x= Π (1-(x/nπ)^2) n=1 ∞ sin(x)= xΠ (1-(x/nπ)^2) n=1 如果這樣寫，發散的問題是不是就不會出現了?? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.162.58.107

推 herstein :重點是你要說明你用的因式定理是甚麼 01/30 22:56

→ herstein :否則就是用留數定理去證明 01/30 22:56

→ herstein :你要知道sin z式entire function of order *=自己想 01/30 22:57

→ suhorng :如果要嚴格證明的話應該很麻煩吧@@ 推理的話就推理 01/30 22:57

→ suhorng :sin(x)不是多項式，不能用多項式的因式定理 01/30 22:57

→ herstein :無窮乘積定理可以看成是因式定理的推廣 01/30 22:57

→ herstein :這叫Weierstrass factorization theorem 01/30 22:58

→ holgaga :Wow...又出現一個新定理XD 待會去google 01/30 23:03

→ holgaga :另外我覺得sin(x)可以用因式定理是因為sin(x)可以用 01/30 23:04

→ holgaga :馬克勞林展開變成多項式的形式@@ 01/30 23:04

→ holgaga :只是可能確實不夠嚴謹但我主要是要說服我自己啦XD 01/30 23:05

→ holgaga :所以我覺得看起來合理我就能接受了至於residue的 01/30 23:06

→ holgaga :方法我得先去複習一下複變才能通透XD 01/30 23:07

→ suhorng :展開那個是 power series，完全不是多項式 01/30 23:08

→ suhorng :多項式定義就是有限項的 01/30 23:08

→ suhorng :無窮乘積展開應該都用複變@@ 用 herstein 大那個定理 01/30 23:09

→ suhorng :sin(x)展開式導法不用複變可是有點麻煩XD 那篇叫做 01/30 23:12

→ suhorng :THE SINE PRODUCT FORMULA AND THE GAMMA FUNCTION 01/30 23:12

→ sneak : Wow...又出現一個 https://noxiv.com 08/13 17:25

→ sneak : 方法我得先去複習一 https://daxiv.com 09/17 15:19

→ sneak : 無窮乘積展開應該都用複 https://daxiv.com 11/10 11:23

→ sneak : 這叫Weierstra https://noxiv.com 01/02 15:16

→ muxiv : 無窮乘積展開應該都用複 https://noxiv.com 07/07 10:36