Re: [中學] 多項式的問題

[mixxim (米克斯)]

※ 引述《piesec2 (靜流~)》之銘言：
: 年級:高中一年級
: 章節:多項式
: 題目:已知f(x)=x^5-16x^4-7x^3+11x^2+19x+27,f(x)=0
:      有k個正根,且最大正根介於n與n+1之間(n為正整數)
:      則(k,n)=?
: 想法:
: 由函數x^5-16x^4猜測x=16附近可能有正根,又f(16)*f(17)<0
: 故最大正根介於16~17之間,所以n=16
: 接著要確認正根有幾個,要用勘根定理代入x=1,2,3,4,5,6,7,8,....,16嗎?
: 似乎很累人...
: 請問有其他高一的作法嗎?
: 謝謝


推 mixxim      :從 x=2 開始你很快就會發現 x^4*(x-16) 會導致 f(x)
→ mixxim      :為負，所以可以直接粗估出 2≦x≦15 恆負
這是嚴謹但很方便的估計方法，在發現上述的現象之後可以好好使用
（答題時判斷數值的趨勢不需要想到這麼複雜啦～）

＜估計一＞

對於x≧2，會有 f(x) ≦ x^5 - 16x^4 - 7x^3 + 5.5x^3 + 4.75x^3 + 3.375x^3
                    ＜ x^5 - 16x^4 + 7x^3
                    ＝ x^3 ( x^2 - 16x + 7 )
                    ＝ x^3 [ (x-8)^2 - 57 ]

所以對於 2≦x≦15，f(x) 恆負




＜估計二＞

對於x≧3，會有 f(x) ≦ x^5 - 16x^4 - 7x^3 + (11/3)x^3 + (19/9)x^3 + x^3
                    ＜ x^5 - 16x^4
                    ＝ x^4 ( x - 16 )

所以對於 3≦x≦16，f(x) 恆負




＜估計三＞

對於x≧17，會有 f(x) ≧ 17x^4 - 16x^4 - 7x^3 + 11x^2 + 19x + 27
                     ≧     17x^3     - 7x^3 + 11x^2 + 19x + 27 ＞ 0

此時 f(x) 恆正
※ 編輯: mixxim          來自: 114.27.84.244        (02/02 15:27)
※ 編輯: mixxim          來自: 114.27.84.244        (02/02 15:29)
推 piesec2     :謝謝您...請問在估計中的right hand是怎麼得到的
→ mixxim      :前兩個估計，x的上界是在代入很粗糙的估計之後依然小
→ mixxim      :於零，代表那個範圍可以保證確實沒有根。我推薦上篇
→ mixxim      :w大的綜合除法不錯用，和這個估計法概念是類似的