推 tokyo291 :感謝您! 02/06 11:38
推 ckp4131025 :Z 02/21 16:08
→ ckp4131025 :Z大好正 02/21 16:08
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
: ∞ x^k
: 1. ∫--------dx 找出k的範圍使此積分收斂
: 0 1+x^2
令F(k)=原式
瑕積分有兩種,一種是[a,b]而在a爆掉的,一種是[a,∞)
兩種都有Cauchy Criterion
前者是：任給e大於0,存在一個d>0,使得所有x,y€[a,b]如果滿足x<y<d
會有 y
│∫f(t)dt│< e
x
後者是：任給e大於0,存在一個d>0,使得所有x,y€[a,∞)如果滿足d<x<y
會有 y
│∫f(t)dt│< e
x
k=0, F(0)=arctan(∞)-arctan(0), conv.
k=1, F(1) div. (因為積出ln(1+x^2))
(1)k€[1,∞)： x^k x
──── >= ──── , for x€[1,∞)
1+x^2 1+x^2
後者發散,所以比較定理告訴我們前者也發散
(2)k€(0,1)： y t^k
│∫ ─── dt│
x 1+t^2
y 1
= │y^k ∫ ─── dt│, z€[x,y]
z 1+t^2
~~~ ~~~~~~~~~~~~
↓ ↓
可夠小 有界
所以收斂
(3)k=0：收斂
(4)k<0：此情況就要討論兩個方向了
因為兩種瑕積分都會發生
可是幸運的是,往無限跑的那個方向
我們有：(k<0,我把它想成p>0,然後放在分母)
1 1
───── <= ──── , for x€[1,∞)
x^p(1+x^2) 1+x^2
所以無限大的方向均是收斂的(比較定理)
接著要考慮0的方向：
因為 1/(1+x^2)€[1/2,1], for x€(0,1]
所以
1/2 1 1
──── =< ───── <= ──── , for x€(0,1]
x^p x^p(1+x^2) x^p
很幸運的, 兩邊都被相同形式的p函數給夾住
一樣用比較定理, 答案很明顯了!
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◆ From: 1.171.12.79