※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 過年玩個新花樣：
: 所求的倒數
: = (1+1)(1+1/3)(1+1/5)...(1+1/(2n-1))
: >= 1+1/3+....+1/2n-1 (展開把很多項丟掉)
: →無限大 as n→無限大
LimSinE 大師說過年要有新意, 不用 log, 只好每個人想個 comparison.
-- --
1/2 3/4 5/6 ....
= (1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)(1-1/8)...(1-1/2n)
先挑 2n = 2^k 幂次方的
< (1-1/2)(1-1/4)(1-1/8)(1-1/8)(1-1/16)...(1-1/16)...(1-1/2^k)
= (1-1/2)(1-1/4)(1-1/2^3)^2 (1-1/2^4)^(2^2) ... (1-1/2^k)^(2^(k-2))
抱歉我括號用的有點過份,
總之就是把 2 的幂次方以前的偶數都降下來到 2 的幂次方,
因為是減的所以會變大.
由於 (1-1/n)^n -> 1/e, (1-1/2^k)^(2^(k-2)) -> (1/e)^0.25 開四次方,
總之還是小於 1. 可取 epsilon 使,
當 n> N 時 一般項 < (1/e)^0.25 + epsilon < 1.
於是 2n = 2^k 的子數列會
< 前面比較大的 N 項 * ((1/e)^0.25 + epsilon)^(n-N) -> 0 收斂至 0.
由於一般項都小於 1, 整個數列會跟著這個 2^k 的子數列一起收斂至 0.
不過呢... 這仍還是個典型的高微做法,
待會 po 完又要被林大師嘲笑了.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.36.83.109