Re: [線代] T(x)=x^TAx是否為線性轉換? T:R^n*1→R

[armopen (八字-風水-姓名學)]

※ 引述《anovachen (囧)》之銘言：
: (^T代表T是上標)
: Let x^TAx be a quadratic form in x1,x2,...,xn and
: define T: R^n*1→R by T(x)=x^TAx,
: is T a linear transformation?
: 解:
:                  1        1 0
: 取n=2, α=2, x=〔 〕, A=〔   〕
:                  1        0 1
: 則T(αx)=(αx)^TA(αx)=8 ...(以下略)
: 請問上述式子是怎麼算出來的？
: 矩陣乘矩陣為什麼會變成實數8？
: 另外...我看不懂quadratic form的意思...〒△〒
: 感謝指教！

實際上, x^T A x 的確是一個 1 x 1 矩陣, 只是被我們視作一個實數

(在同構意義下). 至於你提到的 T 為何不是線性變換, 其理由如詳解

所舉例的, T(αx) = [8] 不等於 αT(x) = [4] (實際上這個 T 是 bilinear).

嚴格來說 T 是一個映射, 而 x^T A x 是一個矩陣, 並不相同,

書上會這樣寫主要是考量到初學者學習的簡便性, 若你想嚴格一點的學習,

不妨參考 Insel, Spence, Friedberg 的 Linear Algebra.

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◆ From: 118.169.107.191
推 anovachen   :謝謝回答...