[線代] 對角化解題疑惑:基底順序

[anovachen (囧)]

以下^皆代表上標。
Let T:R^3 -> R^3 be the linear transformation given by
 T(x,y,z)=(3x-2y-2z, 2x-y-2z, 2x-2y-z)
Find a basis s.t. the matrix representation of T is a
diagonal form with respect to the found basis. (98中山應數)
解：(部分省略)
取γ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}為R^3之標準基底。
    [3   -2   -2]
 A= [2   -1   -2]
    [2   -2   -1]
A的eigenvalue=-1,1,1
V(-1)=span{[1 1 1]^T}
V(1)=span{[1 1 0]^T, [1 0 1]^T}
取β={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1)}為R^3的一組基底，
s.t. [T]β=D=
[-1 0 0]
[ 0 1 0]
[ 0 0 1]

請問，如果我取的基底順序是這樣：
δ={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}
則[T]δ=D'=
[1  0  0]
[0  1  0]
[0  0 -1]
這樣也算正確答案嗎？

Thanks!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.255.251.196
推 orangecoco  :你沒算錯嗎?
剛用R語言驗算過，好像沒錯@@"
程式碼和結果：
z <- c(1,1,1,1,1,0,1,0,1) #基底β
dim(z) <- c(3,3)
y <- solve(z) #基底β的反矩陣
a <- c(3,2,2,-2,-1,-2,-2,-2,-1)  #A=[T]γ
dim(a) <- c(3,3)
y %*% a %*% z #相當於P^-1AP=D
#結果：
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   -1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1

w <- c(1,1,0,1,0,1,1,1,1) #基底δ
dim(w) <- c(3,3)
x <- solve(w) #基底δ的反矩陣
x %*% a %*% w
#結果：
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0   -1

不同的"有序"基底對應的[T]會長得不一樣，
但是都同樣是對角矩陣...
所以基底的順序不影響答案囉？

簡單的說，我的問題是：
假設T屬於L(V,V)可對角化，dim(V)=n，λ1,...,λr為T的相異eigenvalue，
βk分別為V(λk)的基底(k=1 to r)
(以下U為聯集符號)
      r
則β= U βk 為V的基底且[T]β=D為對角矩陣。
     k=1
請問：此處之β中任意一行互相交換位置後，D仍然會是對角矩陣嗎？

(我認為這是對的，因為βiUβj相當於βjUβi，i和j可為任意指標)

推 Vulpix      :嗯，不影響「是對角矩陣」這件事。
→ Vulpix      :是的...如果你交換β1,β2，那你就會交換λ1,λ2。
※ 編輯: anovachen       來自: 111.255.251.196      (02/13 19:13)