Re: [微積] 幾題微積分

[suhorng ( )]

※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
:   ∞      x
: 3.∫------------dx
:   0  exp(2πx)-1

假裝可以這樣算..

 ∞  x exp(-2πx)
∫----------------dx
 0 1 - exp(-2πx)

  ∞           ∞
=∫x exp(-2πx)Σexp(-2nπ)dx
  0            n=0

  ∞  ∞
= Σ ∫x exp(-2π(n+1)x) dx     (*)
  n=0 0

  ∞
= Σ 1/(2π(n+1))^2
  n=0

= 1/4π^2 Σ1/n^2

= 1/24

不過我不知道怎麼驗證 (*) 那個等號 XD

: 2和3試過分部積分和變數變換,但是都越來越醜QQ

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◆ From: 118.166.46.181
※ 編輯: suhorng         來自: 118.166.46.181       (02/14 01:45)
※ 編輯: suhorng         來自: 118.166.46.181       (02/14 01:51)
推 tokyo291    :可以請問第二個等號的summation是怎麼得到的嗎?
→ suhorng     :用 1/(1-t) = 1 + t + t^2 + t^3.. 展開 t=e^(-2πx)
→ tokyo291    :(*)是因為n和x無關所以可以分開計算嗎?
→ suhorng     :(*)式的問題在要驗證積分跟summation可以交換
→ suhorng     :但是我不會均勻收斂那部份..
→ willydp     :放心吧Fubini用下去沒在怕的 反正加絕對值後都可積
→ willydp     :他每項都正的 根本沒這個問題
→ willydp     :summation可視為counting measure的積分
→ willydp     :也可以用Lebesgue monotone convergence啦...