推 arthurduh1 :用數歸解OK 02/14 15:47
推 keroro321 :pA(x)=(x-1)^2 => x=A,f(x)=1+2009(x-1) 沒錯 02/14 18:14
推 keroro321 :還有用Taylor expasion是兩種概念,在這是可以通用 02/14 20:25
(98東華電機)
Let A=
[1 3]
[0 1]
Find A^2009.
解答用的是Cayley-Hamilton Thm.，
而且還要先用Taylor展開...
pA(x)=(x-1)^2,令f(x)=x^2009
2009
f(x)=Σ f^(i)(1)(x-1)^i
i=1
請問，為何解答的Taylor展開長得怪怪的，
分母的階乘為什麼不見了@@
可是答案卻又正確？
補充：剛才發現為什麼階乘沒寫出來還是算對= =
因為pA(A)=(A-I)^2=O
而A^2009=f(A)展開=
f(1)I/0! + f'(1)(A-I)/1! + [Σf^(i)(1)(A-I)^(i-2)/i!](A-I)^2
其中
[Σf^(i)(1)(A-I)^(i-2)/i!](A-I)^2
=[Σf^(i)(1)(A-I)^(i-2)/i!]*O
=O
所以書上的公式應該是真的寫錯了，算對只是碰巧的= =
---
另外，我用數學歸納法解似乎比較快...
只是不確定這樣寫可不可以...
A^1=
[1 1*3]
[0 1]
A^2=
[1 2*3]
[0 1]
令A^n=
[1 3n]
[0 1]
n為自然數>=2
則A^(n+1)=
[1 3n][1 3]
[0 1][0 1]
=
[1 (n+1)3]
[0 1]
故A^2009=
[1 2009*3]
[0 1]
=
[1 6027]
[0 1]
感謝回覆！
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※ 編輯: anovachen 來自: 111.255.251.196 (02/14 15:17)
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