極限e的序列

[LimSinE (r=e^theta)]

熟知：
(1+1/n)^n ↑e，(1+1/n)^(n+1)↓e (*)
事實上有
(1+1/n)^(n+1/2)↓e (重點是遞減)

證明：
考慮函數 f(x) = (x+1/2) log (1+ 1/x)
f'(x)
= log (1 +1/x) - (x+1/2)/[x(x+1)]
= log (1 +1/x) - 1/2 {1/x + 1/(x+1)} → 0 as x→無限大

f"(x)
= -1/[x(x+1)] + 1/2{1/x^2 + 1/(x+1)^2}
=1/2{1/x - 1/(x+1)}^2 > 0，故f'↑0，f'<=0，f↓


請問有沒有不用微積分的方法？
(例如(*)的兩個序列的增減都可用算幾不等式得到)

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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◆ From: 219.85.85.77
→ nonumber    :我也想知道e怎麼來的
→ suhorng     :@1F: 遞減比較難 極限很簡單 用limit laws拆開
推 herstein    :我記得N年前讀高中的時候有用數學歸納法做過一次
→ herstein    :但說真的我不記得是不是真的用數歸XD
推 yclinpa     :用 ln(1+1/x) 的 asymptotic expansion 也算微積分吧
→ LimSinE     :是，且用asymp.exp應該只能證到n夠大時遞減