推 huang419 :Αρχιμ_η? Isaac Gauß coolbetter33 02/17 18:46
推 huang419 :酷兒貝特 02/17 19:12
※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 熟知：
: (1+1/n)^n ↑e，(1+1/n)^(n+1)↓e (*)
以前看過一種方法用湊的
{1,1,1,1,....,n/(n+1)}共n+1項 .接著用算幾 n+n/(n+1) 1/n
--------- > (n/(n+1))
n+1
n+1 n
得出 (n+2/n+1) > (n+1/n) 由a_n ->e as n->oo 和 a_n+1 > a_n 可得
(1+1/n)^n ↑e
: 事實上有
: (1+1/n)^(n+1/2)↓e (重點是遞減)
: 證明：
: 考慮函數 f(x) = (x+1/2) log (1+ 1/x)
: f'(x)
: = log (1 +1/x) - (x+1/2)/[x(x+1)]
: = log (1 +1/x) - 1/2 {1/x + 1/(x+1)} → 0 as x→無限大
: f"(x)
: = -1/[x(x+1)] + 1/2{1/x^2 + 1/(x+1)^2}
: =1/2{1/x - 1/(x+1)}^2 > 0，故f'↑0，f'<=0，f↓
: 請問有沒有不用微積分的方法？
: (例如(*)的兩個序列的增減都可用算幾不等式得到)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.162.93.39
※ 編輯: coolbetter33 來自: 1.162.93.39 (02/15 22:56)